二分法

2021-12-15 20:03:09 阅读：169 来源： 互联网

二分法最基础的实现就是猜数字游戏

猜数字游戏是令游戏机随机产生一个100以内的正整数，用户输入一个数对其进行猜测，需要你编写程序自动对其与随机产生的被猜数进行比较，并提示大了，还是小了，相等表示猜到了。如果猜到，则结束程序。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
// 输入要猜的数字
	int k;
	cin >> k;
// 定义下限，初始化为1
	int start = 1;
// 定义上限，初始化为100
	int end = 100;
// 定义中点
	int mid;
// 记录猜了多少次
	int cnt = 0;
// 执行循环，不断的猜数字
	while (start <= end) {
		// 猜start和mid的中点
		mid = (start + end) / 2;
		// 每猜一次，次数加1
		cnt++;
		// 输出调试信息
		cout << "[" << start << "," << end << "] " << mid << endl;
		// 比较k和mid的大小
		// 相等，猜中了！
		if (mid == k) break;
		// 猜的数字太大，将范围调整成[start,mid-1]
		else if (k < mid) end = mid - 1;
		// 猜的数字太小，将范围调整成[mid+1,end]
		else start = mid + 1;
	}
	// 输出结果
	cout << cnt << endl;
	return 0;
}

通过对猜数字游戏代码的理解我们可以发现二分法的本质:

以在一个升序数组中查找一个数为例。(在猜数字当中就是1-100),它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

通过上面的学习，我们可以来做一道题:

给定一个浮点数k，1<=k<=105，请输出k的平方根x，使得x*x与k的误差不超过0.001

这道题可以使用C++STL中的sqrt来实现，但是我们这里使用二分法，代码实现:


#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;
// 误差临界值
const double diff = 0.001;
int main() {
	// 输入要猜的数字，注意是小数
	double k;
	cin >> k;
	// 定义下限，初始化为1
	double start = 1;
	// 定义上限，初始化为k
	double end = k;
	// 定义中点x，表示要猜的根号
	double x;
	// 记录当前误差
	double d;
	// 重复执行猜根号的过程
	while (start <= end) {
		// 猜start和mid的中点
		x = (start + end) / 2;
		// 计算当前误差
		d = fabs(x * x - k);
		//输出调试信息
		cout << start << ", " << end << ", ";
		cout << x << "," << x*x << endl;
		// 比较k和x*x的大小
		// 误差小于等于diff，结束循环
		if (d <= diff) break;
		// 猜的数字太大，将范围调整成[start,x]
		else if (k < x * x) end = x;
		// 猜的数字太小，将范围调整成[x,end]
		else start = x;
	}
	// 保留3位有效数字，并输出结果
	cout << fixed << setprecision(3) << x << endl;
	return 0;
}

接下来，我们开始正式学习二分查找

二分查找（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

二分查找的模板:

int binary_search(int start, int end, int key) {
  int ret = -1;  // 未搜索到数据返回-1下标
  int mid;
  while (start <= end) {
    mid = start + ((end - start) >> 1);  // 直接平均可能会溢出，所以用这个算法
    if (arr[mid] < key)
      start = mid + 1;
    else if (arr[mid] > key)
      end = mid - 1;
    else {  // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
      ret = mid;
      break;
    }
  }
  return ret;  // 单一出口
}

这里我们其实只需要理解就可以了，因为我们有STL:

C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数std::lower_bound和查找首个大于给定值的元素的函数std::upper_bound，二者均定义于头文件<algorithm>中。二者均采用二分实现，所以调用前必须保证元素有序。

这里就不再过多赘述了，大家可以自己看此博客

下面，我们来学习二分答案

如果答案具有单调性且有范围，那么就可以二分枚举答案，在答案合法的条件下不断逼近最优（如最大值最小或最小值最大），最后一个合法的答案就是最优解，这便是二分答案

二分答案模板:

//求最小值
int binary(int left, int right) {
    int mid;
    while(left < right) {
        mid = (right + left) / 2;
        if (check(mid)) right = mid;
        else left = mid + 1;
    }
    return left;
}

//求最大值
int binary(int left, int right) {
    int mid;
    while(left < right) {
        mid = (right + left + 1) / 2;
        if (check(mid)) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    return left;
}

我们先来看这道题:砍树

这道题是一道二分答案的板子题，当然也可以直接枚举，但是这种朴素算法肯定拿不到满分，大家可以用二分答案试着做一下
这里给出题解

别忘了练习，任何算法只听懂是没有用的，这里帮大家整理了一个题单

标签：二分,right,int,mid,二分法,查找,left
来源： https://www.cnblogs.com/Thujoars/p/15694788.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

二分法