标签：infty frac 变换 拉普拉斯 Re int rm omega
拉普拉斯变换的引入
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首先能做的，是对周期函数做傅里叶级数展开，使用复数表达为：
\[f(t) =\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega_0 t}\\ c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t}{\rm d}t \]至于为什么能展开成傅里叶级数，工数（高数）并没有说清楚，只给出了一个为加以证明的迪利克雷条件，说只要满足该条件就一定能展开。
频谱图（\(c_n-n\omega_0\)图）由一个个冲激构成，间隔为\(\omega_0\)
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周期函数的周期增大至无限，则过渡成非周期函数，而\(\omega_0\to0\)使得原来的离散谱过渡成连续谱：时：
\[\left\{ \begin{aligned} \lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{1}{T}&=\lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega){\rm d}\omega\\ n\omega_0&\to\omega\\ \lim\limits_{\omega_0\to0}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}h(t){\rm d}t&=\int_{-\infty}^{\infty}h(t){\rm d}t \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow f(t)&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}[\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)e^{-jn\omega_0 x}{\rm d}x]e^{jn\omega_0 t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}{\rm d}t]e^{j\omega t}{\rm d}\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega \end{aligned} \]其中定义了傅里叶变换
\[F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t \] -
有一部分增长得太快了的函数，其傅里叶变换不收敛，于是想到了先让它们指数衰减一下，再进行傅里叶变换（或者理解为不再像傅里叶变换那样把它们分解为标准的正弦信号，而是分解成幅度随时间改变的正弦信号\(e^{-\sigma t}\sin(\omega t)\)），于是就得到了拉普拉斯变换
\[\begin{aligned} \mathcal L[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}{\rm d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t\\ &=F(s) \end{aligned} \]做进一步的讨论，使拉普拉斯变换收敛的s构成了拉普拉斯变换的收敛域。
工程应用上多会设置时间零点，此刻以前的事情则不关心，即\(t<0\)时，可以认为\(x(t)=0\)，继而有单边拉氏变换
\[F(s)=\int^{-\infty}_{0_-}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]积分下限取\(0_-\)是考虑到\(t=0\)时可能包含冲激信号或其导数。不难发现单边拉氏变换在s平面上都是某个右半平面。
拉普拉斯反变换的计算式好像用的不多，就不作讨论啦。
性质和常用变换对
从定义出发计算拉氏变换及其逆变换需要做含复数的积分，比较复杂，更多时候还是从性质出发，用性质和常用变换对导出想要的结果。
单变拉普拉斯变换的性质
假设有
\[f(t)\leftrightarrow F(s),\ ROC=R_1=\{{\rm Re}(s)>\sigma_1\}\\ g(t)\leftrightarrow G(s),\ ROC=R_2=\{{\rm Re}(s)>\sigma_2\} \]则
| 性质名称 | 数学表达 | 收敛域 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 线性性质 | \(af(t)+bg(t)\leftrightarrow aF(s)+bG(s)\) | \(R_1\cup R_2\)或者更大 | 有可能消去极点 |
| 时域平移 | \(f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}F(s)\) | \(R_1\) | 符号相同 |
| 时域尺度变换 | \(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\) | \(\{{\rm Re}(s)>a\sigma_1\}\) | 无 |
| 时域微分 | \(f'(t)\leftrightarrow sX(s)-x(0_-)\) | \(R_1\) | 注意初态，证明用分部积分 |
| 时域高阶微分 | \(f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nF(s)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}x^{(i)}(0_-)\) | \(R_1\) | 多次时域微分 |
| 时域积分 | \(\int_{-\infty}^tf(\tau){\rm d}t\leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^0f(\tau){\rm d}t\) | \(R_1\cup\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 注意初态，证明用分部积分 |
| 时域卷积 | \(f(t)*g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)\) | \(R_1\cup R_2\)或者更大 | 无 |
| 复频域平移 | \(f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-\sigma_0)\) | \(\{{\rm Re}(s)>\sigma_1+\sigma_0\}\) | 符号相反 |
| 复频域微分 | \(-tf(t)\leftrightarrow F'(s)\) | \(R_1\) | 多了个负号 |
| 初值定理 | \(x(0_+)=\lim\limits_{s\to \infty}sX(s)\) | 无 | 书上没证明 |
| 终值定理 | \(\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\lim\limits_{s\to 0}sX(s)\) | 要求\(\sigma_1<0\) | 书上没证明 |
常用拉氏变换对
| 编号 | 时域信号 | 复频域信号 | 收敛域 | 可能的推导过程 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\delta(t)\) | 1 | 全平面 | 从定义出发得到 |
| 2 | \(\delta(t-t_0)\) | \(e^{-st_0}\) | 全平面 | 由1时域平移得到 |
| 3 | \(\delta^{(n)}(t)\) | \(s^n\) | 全平面 | 由1时域微分得到 |
| 4 | \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) | \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 由1时域积分得到 |
| 5 | \(u(t-t_0)\) | \(\frac{e^{-st_0}}{s}\) | \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 由4时域平移得到 |
| 6 | \(\frac{1}{n!}t^nu(t)\) | \(\frac{1}{s^{n+1}}\) | \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 由4时域积分得到 |
| 7 | \(e^{pt}u(t)\) | \(\frac{1}{s-p}\) | \(\{{\rm Re}(s)>p\}\) | 由4复频域平移得到 |
| 8 | \(\frac{e^{pt}t^n}{n!}u(t)\) | \(\frac{1}{(s-p)^n}\) | \(\{{\rm Re}(s)>p\}\) | 由6复频域平移得到 |
| 9 | \(\sin(\omega_0t)u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 由7和欧拉公式得到 |
| 10 | \(\cos(\omega_0t)u(t)\) | \(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) | 由7和欧拉公式得到 |
| 11 | \(e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) | \(\{{\rm Re}(s)>-a\}\) | 由9复频域平移得到 |
| 12 | \(e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\) | \(\frac{s}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) | \(\{{\rm Re}(s)>-a\}\) | 由10复频域平移得到 |
标签：infty,frac,变换,拉普拉斯,Re,int,rm,omega 来源： https://www.cnblogs.com/harold-lu/p/15390606.html
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