标签：right frac ln text 火箭 times eta 理想化 分级
关于分级火箭的一点理想化的计算
一分级火箭，有 \(M_1\) 质量的外壳，运载 \(M_0\) 质量的载荷。火箭被 \(n\) 个重量为均为 \(M_2\) 的分级装置均匀地分为 \(n+1\) 级，每燃烧完 \(\frac{M}{n+1}\) 质量的燃料，火箭就会抛弃一个分级装置和 \(\frac{M_1}{n+1}\) 质量的外壳（最后一次，即燃料烧完时除外）。
火箭使用一种推重比为 \(\eta\ (\eta>1)\) 的燃料，也就是说质量为 \(m\) 的燃料一瞬间完全燃烧可以推动 \(\eta m\) 质量的物体运动一瞬间。火箭瞬时的燃料消耗速度因此与火箭的瞬时总质量成正比，比值为 \(\eta\) 。推动火箭运行 \(T\) 的时间，需装填 \(M\) 质量的初始燃料。
已知 \(M_0,\ M_1,\ M_2,\ \eta,\ T,\ n\) ，求解初始燃料质量 \(M\) 。
1.分阶段
记各级的开始时间点为：
\[0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n<t_{n+1}=T \]其中 \(t_0\) 总的开始，\(t_{n+1}\) 为总的结束。
称时间段 \([t_k,t_{k+1}]\) 为第 \(k\) 阶段， \(0\leqslant k \leqslant n\) 。
2.计算燃料函数
记第 \(k\) 阶段除燃料之外的质量总共为：
\[M_{\times}(k)=M_0+\frac{n+1-k}{n+1}M_1+(n-k)M_2 \]设火箭该阶段燃料质量关于时间的函数为 \(m_k(t)\) ，根据“火箭瞬时的燃料消耗速度与火箭的瞬时总质量成正比”，列出方程：
\[\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k)) \]令 \(u=\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}\) （注意到 \(u<0\) ），并将上式两边求导，则：
\[\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}u \]分离变量：
\[\frac{\text{d}u}{u}=-\frac{1}{\eta}\text{d}t \]两边积分：
\[\ln \lvert u\rvert =-\frac{1}{\eta}t+C_1 \]两边对 \(e\) 取幂，注意 \(u<0\) ：
\[u=-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1} \]对 \(u\) 积分得出 \(m_k\) ：
\[m_k=\int{u\text{d}t}=\int{-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}\text{d}t} =\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}+C_2 \] 下面解出常数。注意到：
\[u=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k)) \]带入 \(u\) 和 \(m_k\) 就得到 \(C_2=-M_{\times}(k)\) 。又注意到第 \(k\) 阶段末尾，即第 \(k+1\) 阶段开头的燃料质量为 \(\frac{n-k}{n+1}M\) ，列出如下方程：
\[m_k(t_{k+1})=\frac{n-k}{n+1}M \]带入：
\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}-M_{\times}(k)=\frac{n-k}{n+1}M \]为方便书写，临时记 \(M_x=\frac{n-k}{n+1}M+M_{\times}(k)\) ，于是：
\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}=M_x \]解得：
\[C_1=\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1} \]带入 \(C_1,C_2\) ，得到：
\[m_k(t) =\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1}}-M_{\times}(k) \]化简（注意代换掉临时量 \(M_x\) ），得到：
\[m_k(t)=\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t}{\eta}}-M_{\times}(k) \]3.解出未知值
我们用第 \(k\) 阶段末尾的状态解出了常数 \(C_1\) ，现在考虑第 \(k\) 阶段开头，有：
\[m_k(t_k)=\frac{n+1-k}{n+1}M \]带入：
\[\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}}-M_{\times}(k)=\frac{n+1-k}{n+1}M \]化简：
\[{e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}} =\frac{M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M}{M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M} \]两边 \(\ln\) ，得到递推式：
\[\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta} =\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)} \]累加，得到：
\[\frac{T}{\eta}=\frac{t_{n+1}-t_0}{\eta}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}} =\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)} \]我们于是列出了关于未知数 \(M\) 的方程：
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)}=\frac{T}{\eta} \]就可以解出 \(M\) 的取值。
标签：right,frac,ln,text,火箭,times,eta,理想化,分级 来源： https://www.cnblogs.com/Square-Circle/p/15359593.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。