分段函数中的参数分离

2021-09-23 08:32:51 阅读：161 来源： 互联网

标签：begin right end 分段 cup 参数 array leqslant 函数

前言

当我们理解和掌握了一般函数的分离参数的求解方法之后，还需要注意分段函数中的参数分离方法和技巧。

典例剖析

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m, x>1, \\ 2 x+a-m, x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 其中$a>0$且$a\neq 1$，若 $\exists$ $m$ $\in$$R$ ，使得函数$f(x)$有$2$个零点，则实数 $a$ 的取值范围为【$\qquad$】

$A.(0,\cfrac{1}{2})\cup(1,2)$ $B.(0,1) \cup(1,2)$ $C.(0,1) \cup(2,+\infty)$ $D.(0, \cfrac{1}{2}) \cup(2,+\infty)$

〔分析〕：由题目可知，若令$f(x)=0$，则$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m=0, x>1, \\ 2 x+a-m=0, x \leqslant 1,\end{array}\right.$

即$\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}=m, x>1, \\ 2 x+a=m, x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 故我们想到分离参数$m$后，利用数形结合求解；

〔解析〕: 令 $f(x)=0$， $g(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}, x>1, \\ 2 x+a, x \leqslant 1,\end{array}\right.$

则原函数有两个零点问题就转化为方程 $g(x)=m$有两个不同解的问题，

从而转化为形，则转化为 $y=g(x)$ 与 $y=m$ 的图象有两个交点，

显然当 $0<a<1$ 时，存在实数$m$，使得$y=g(x)$ 与 $y=m$ 的图象有两个交点；

当 $a>1$ 时，只需 $2+a>2a$，解得 $1<a<2$ .

综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $(0 , 1)\cup(1,2)$，故选$B$ .

标签：begin,right,end,分段,cup,参数,array,leqslant,函数
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