标签：非基 可行 06 变量 09 矩阵 单纯形 最优 函数

单纯形计算方法(Simplex Method)是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优，若不是最优，再换一个基可行解并判断，直到得出最优解或判断出问题无最优解。它是一种逐步逼近最优解的迭代方法。当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时(通常是一个单位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的矩阵)，则可以通过解线性方程组求得基本可行解。

5.1几何意义
在标准形中，有m个约束条件（不包括非负约束），n个决策变量，且（n>=m）。首先，选取m个基变量 ，基变量对应约束系数矩阵的列向量线性无关。通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：

如果令非基变量等于0，可求得基变量的值 ：

如果为可行解的话，Ci大于0。那么它的几何意义是什么呢？

还是通过上述具体的线性规划问题来说明。

如果选择x2、x3为基变量，那么令x1、x4等于0，可以去求解基变量x2、x3的值。对系数矩阵做行变换，如下所示，x2=9/2，x3=15/2

X1=0表示可行解在x轴上；X4=0表示可行解在x1+2x2=9的直线上。那么，求得的可行解即表示这两条直线的交点，也是可行域的顶点，如图所示：

   所以，通过选择不同的基变量，可以获得不同的可行域的顶点。

注意，有些书上，把定为0的变量叫非基变量，而通过等式约束求解出来的变量叫做基变量。

5.2如何判断最优
如前所述，基变量可由非基变量表示：

目标函数z也可以完全由非基变量表示：

注意：这种传统方法用非基变量表示基变量和目标函数值的表示法叫单纯形字典。

当达到最优解时，所有的应小于等于0。当存在j， >0时，当前解不是最优解，为什么？

当前的目标函数值为z0，其中所有的非基变量值均取0。由之前分析可知，=0代表可行域的某个边界，是的最小值。如果可行解逐步离开这个边界，会变大，因为 >0，显然目标函数的取值也会变大，所以当前解不是最优解。我们需要寻找新的基变量。

5.3如何选择新的基变量
如果存在多个 >0，选择最大的 >0对应的变量作为基变量，这表示目标函数随着的增加，增长的最快。

5.4如何选择被替换的基变量
假如我们选择非基变量作为下一轮的基变量，那么被替换基变量在下一轮中作为非基变量，等于0。选择的原则：替换后应该尽量使值最大（因为上面已分析过，目标函数会随着的增大而增大）。

继续通过上面的例子来说明：

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来源： https://blog.csdn.net/sinat_37574187/article/details/120134649

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