标签：复杂度 dfs 节点 问题 树上 转移 DP size
树形DP：
DP巧妙之处在于状态设计，即将多个类似信息放在一起
考虑，这也是DP的最优子结构性质，而树形DP常以记录根
节点信息进行转移，因为通常以根节点子树为DP阶段，而仅
有根节点信息会阶段外信息造成影响。
例1：选课
传统树形背包，利用树的递归性质，即子树（子集合）
之间的独立性分而治之，时间复杂度O(nm^2)考虑时间复杂
度瓶颈。
方案一：序列上的背包DP时间复杂度O(nm)，原因在于
每次合并一种物品，更新答案。树上合并复杂度瓶颈在于n
次合并，每次合并一颗子树的信息，故每次合并都要枚举子
树信息与背包容量，时间复杂度O(nm^2)。
于是考虑降低时间复杂度，根据之前的分析也就是考虑
如何每次只合并一个信息（避免枚举大量信息），于是联想
序列背包的模式，考虑将树上合并转化为序列合并，显然只
需要求出树的dfs序即可，转移时要遵循由子节点转移到父节
点因此向前枚举，注意由于本质上仍然为树形DP，故当不选
当前节点时，上一个状态为f[i+size[aux[i]]]代表如果不选当前
节点则整个子树都无法选择。
思想：时间复杂度瓶颈分析与优化，树的性质，树上问题
转化为序列问题
代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define I int
4 #define V void
5 const I N = 5e3 + 3;
6 I n,m,tot,cnt,head[N],to[N],nxt[N],cre[N],aux[N],f[N][N],size[N];
7 inline V found (I x,I y) {
8 to[++tot] = y,nxt[tot] = head[x],head[x] = tot;
9 }
10 V dfs (I x) {
11 size[x] = 1,aux[cnt++] = x;
12 for (I i(head[x]); i ;i = nxt[i])
13 dfs (to[i]),size[x] += size[to[i]];
14 }
15 signed main () {
16 scanf ("%d%d",&n,&m);
17 for (I i(1),x;i <= n; ++ i) scanf ("%d%d",&x,&cre[i]),found (x,i);
18 dfs (0);
19 for (I i(n); i ; -- i)
20 for (I j(m); j ; -- j)
21 f[i][j] = max (f[i + 1][j - 1] + cre[aux[i]],f[i + size[aux[i]]][j]);
22 printf ("%d\n",f[1][m]);
23 }
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方案二：较劣的时间复杂度意味着存在冗余转移，于是
考虑优化状态数，发现对于序列问题每个元素由1～m的容量
完成转移，而当转移子树时由1～m^2容量遍历完成转移，而
实际节点数并没有那么多，于是考虑优化转移数。
观察转移方程发现冗余转移在于m^2枚举，于是考虑对于
当前需要转移的子树进行上下界压缩，压缩为其合理转移数，
对于当前子树待转移量为子树大小，而当前树待转移量为已经
合并的子树大小，于是在递归过程中记录两个信息进行状态数
压缩即可，时间复杂度O(nm)考虑转移量即可
代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define I int
4 const I N = 5e3 + 3;
5 I f[N][N],s[N],n,m;
6 vector<I> e[N];
7 I dfs(I u) {
8 I p = 1;
9 f[u][1] = s[u];
10 for (auto v : e[u]) {
11 I siz = dfs(v);
12 for (I i = min(p, m + 1); i; i--)
13 for (I j = 1; j <= siz && i + j <= m + 1; j++)
14 f[u][i + j] = max(f[u][i + j], f[u][i] + f[v][j]);
15 p += siz;
16 }
17 return p;
18 }
19 I main() {
20 scanf("%d%d", &n, &m);
21 for (I i = 1,x; i <= n; i++) scanf("%d%d", &x, &s[i]),e[x].push_back(i);
22 dfs(0);
23 printf("%d\n",f[0][m + 1]);
24 }
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思想：压缩状态数优化时间复杂度，考虑上下界问题
标签：复杂度,dfs,节点,问题,树上,转移,DP,size 来源： https://www.cnblogs.com/HZOI-LYM/p/15090958.html
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