标签：le Point dfrac ll mid Codeforces 685C need cases
分类讨论神题。
首先看到最大值最小，一眼二分答案，于是问题转化为判定性问题，即是否 \(\exists x_0,y_0,z_0\) 满足 \(\forall i,|x_0-x_i|+|y_0-y_i|+|z_0-z_i|\le mid\)。
柿子中带个绝对值，不好直接转化。不过注意到对于任意实数 \(x\) 都有 \(x\le |x|,-x\le |x|\)，因此 \(|x-y|\le v\) 的充要条件即是 \(x-y\le v,y-x\le v\)，因此上式可以把绝对值拆开得到：
\[\begin{cases} x_0-x_i+y_0-y_i+z_0-z_i\le mid\\ x_0-x_i+y_0-y_i+z_i-z_0\le mid\\ x_0-x_i+y_i-y_0+z_0-z_i\le mid\\ x_0-x_i+y_i-y_0+z_i-z_0\le mid\\ x_i-x_0+y_0-y_i+z_0-z_i\le mid\\ x_i-x_0+y_0-y_i+z_i-z_0\le mid\\ x_i-x_0+y_i-y_0+z_0-z_i\le mid\\ x_i-x_0+y_i-y_0+z_i-z_0\le mid \end{cases} \]将上式整理一下可以得到：
\[\begin{cases} x_i+y_i+z_i-mid\le x_0+y_0+z_0\le x_i+y_i+z_i+mid\\ -x_i+y_i+z_i-mid\le -x_0+y_0+z_0\le -x_i+y_i+z_i+mid\\ x_i-y_i+z_i-mid\le x_0-y_0+z_0\le x_i-y_i+z_i+mid\\ x_i+y_i-z_i-mid\le x_0+y_0-z_0\le x_i+y_i-z_i+mid \end{cases} \]记 \(A_{l}=\max\limits_{i=1}^nx_i+y_i+z_i-mid,A_{r}=\min\limits_{i=1}^nx_i+y_i+z_i-mid\)，\(B_{l},B_r,C_l,C_r,D_l,D_r\) 也同理，那么显然上述柿子可以等效于：
\[\begin{cases} A_l\le x_0+y_0+z_0\le A_r\\ B_l\le -x_0+y_0+z_0\le B_r\\ C_l\le x_0-y_0+z_0\le C_r\\ D_l\le x_0+y_0+z_0\le D_r \end{cases} \]注意到这四个不等式中间一项都带三个未知数，不好处理，不过这三个未知数之间又存在某种联系，因此考虑记 \(a=-x_0+y_0+z_0,b=x_0-y_0+z_0,c=x_0+y_0-z_0\)，那么有 \(x_0=\dfrac{b+c}{2},y_0=\dfrac{a+c}{2},z_0=\dfrac{a+b}{2}\)。我们还可以注意到 \(x_0+y_0+z_0=a+b+c\)，因此柿子又转化为
\[\begin{cases} A_l\le a+b+c\le A_r\\ B_l\le a\le B_r\\ C_l\le b\le C_r\\ D_l\le c\le D_r \end{cases} \]当然这里有一个 restriction 是 \(x_0,y_0,z_0\) 必须都是整数，因此必须有 \(a\equiv b\equiv c\pmod{2}\)。故考虑枚举 \(r=a\bmod 2\)，记 \(a'=\dfrac{a-r}{2},b'=\dfrac{b-r}{2},c'=\dfrac{c-r}{2}\)，那么上式又变为：
\[\begin{cases} \lceil\dfrac{A_l-3r}{2}\rceil\le a'+b'+c'\le\lfloor\dfrac{A_r-3r}{2}\rfloor\\ \lceil\dfrac{B_l-r}{2}\rceil\le a'\le\lfloor\dfrac{B_r-r}{2}\rfloor\\ \lceil\dfrac{C_l-r}{2}\rceil\le b'\le\lfloor\dfrac{C_r-r}{2}\rfloor\\ \lceil\dfrac{D_l-r}{2}\rceil\le c'\le\lfloor\dfrac{D_r-r}{2}\rfloor \end{cases} \]这个随便求一求就行了，我相信即便刚学过 OI 的应该也会罢。
时间复杂度 \(n\log A\)，其中 \(A=\max\{a_i\}\)
const int MAXN=1e5;
const ll INF=7e18;
int n;ll x[MAXN+5],y[MAXN+5],z[MAXN+5],X,Y,Z;
ll down(ll x){return (x>=0)?(x>>1):(-(-x+1>>1));}//\lfloor x/2 \rfloor
ll up(ll x){return (x>=0)?(x+1>>1):(-(-x>>1));}//\lceil x/2 \rceil
bool check(ll mid){
ll al=-INF,ar=INF,bl=-INF,br=INF;
ll cl=-INF,cr=INF,dl=-INF,dr=INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
chkmax(al,x[i]+y[i]+z[i]-mid);chkmin(ar,x[i]+y[i]+z[i]+mid);
chkmax(bl,-x[i]+y[i]+z[i]-mid);chkmin(br,-x[i]+y[i]+z[i]+mid);
chkmax(cl,x[i]-y[i]+z[i]-mid);chkmin(cr,x[i]-y[i]+z[i]+mid);
chkmax(dl,x[i]+y[i]-z[i]-mid);chkmin(dr,x[i]+y[i]-z[i]+mid);
}
for(int r=0;r<2;r++){
ll wl=up(al-3*r),wr=down(ar-3*r);
ll xl=up(bl-r),xr=down(br-r);
ll yl=up(cl-r),yr=down(cr-r);
ll zl=up(dl-r),zr=down(dr-r);
if(wl<=wr&&xl<=xr&&yl<=yr&&zl<=zr&&xl+yl+zl<=wr&&xr+yr+zr>=wl){
ll a=xl,b=yl,c=zl,need=max(0ll,wl-xl-yl-zl);
a+=min(need,xr-xl);need-=min(need,xr-xl);
b+=min(need,yr-yl);need-=min(need,yr-yl);
c+=min(need,zr-zl);need-=min(need,zr-zl);
a=(a<<1|r);b=(b<<1|r);c=(c<<1|r);
X=b+c>>1;Y=c+a>>1;Z=a+b>>1;return 1;
}
} return 0;
}
void solve(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&z[i]);
ll l=0,r=INF>>1,p=-1;
while(l<=r){
ll mid=l+r>>1;
if(check(mid)) p=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
} check(p);//printf("%lld\n",p);
printf("%lld %lld %lld\n",X,Y,Z);
}
int main(){
int qu;scanf("%d",&qu);
while(qu--) solve();
return 0;
}
标签：le,Point,dfrac,ll,mid,Codeforces,685C,need,cases 来源： https://www.cnblogs.com/ET2006/p/Codeforces-685C.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。