标签：表示 通路 矩阵 邻接矩阵 times 5.3 长度 关联矩阵
图的矩阵表示
前面在二元关系中学过，图可以使用矩阵表示。现在再来学习更多的矩阵表示方法。
关联矩阵
先来回顾一下关联的定义：
设e=(u,v)（<u,v>）是无向(有向)图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点,e与u ( v)关联。
无向图的关联矩阵
定义
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n*m为G的关联矩阵，记为M(G) 。
可以看出，关联矩阵考虑的是顶点和边的关系，每行表示顶点，每边表示列。
例子
上图的关联矩阵为
性质
可有如下性质：
(1) 每一列恰好有两个1或一个2;(每条边提供两个度，自环对同一个顶点提供2两个度)
(2) ∑ j = 1 m m i j = d ( v i ) , i = 1 , 2 , . . . , n \sum _{j=1}^{m}m_{ij}=d(v_i), i=1,2,...,n ∑j=1mmij=d(vi),i=1,2,...,n;（每一行加起来就是对应顶点的度数，也就是关联总数）
(3) ∑ i , j m i j = 2 m \sum _{i,j}m_{ij}=2m ∑i,jmij=2m;（全部加起来就是度数之和，根据握手定理，度数和为边数的两倍）
(4)Vi为孤立点当且仅当第i行全为0;（无边关联即为孤立点）
(5)平行边的列相同.（平行边两端点相同）
有向图的关联矩阵
定义
例子
性质
可得类似性质
(1) 每一列恰好有一个1和一个-1;(一条有向边提供一个出度，一个入度)
(2) 第i行1 的个数等于 d + ( v i ) d^+(v_i) d+(vi), -1 的个数等于 d − ( v i ) d^-(v_i) d−(vi)
(3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m
(4) 平行边对应的列相同
有向图的邻接矩阵
定义
定义$ 设有向图 D = < V , E > , V = { v 1 , v 2 , … , v n } , E = { e 1 , e 2 , … , e m } , a i j ( 1 ) 为 顶 点 v i 邻 接 到 顶 点 v j 边 的 条 数 , ( a i j ( 1 ) ) n × n 称 为 D 的 邻 接 矩 阵 , 记 作 A ( D ) , 简 记 为 A D=<V,E>, V=\{v_1, v_2, …, v_n\}, E=\{e_1, e_2, …, e_m\}, a^{(1)}_{ij} 为顶点v_i邻接到顶点v_j边的条数,(a^{(1)}_{ij})_{n \times n} 称为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},aij(1)为顶点vi邻接到顶点vj边的条数,(aij(1))n×n称为D的邻接矩阵,记作A(D),简记为A
注意：这里定义为邻接到，即为始点指向终点的通路，不能反过来。
例子
性质
可见我们可以使用邻接矩阵表示通路长度。
我们前面在二元关系当中也学习过，矩阵的幂次可以表示关系的幂运算，也就是关系的复合，而关系的复合本质上是一种传递，那么这种传递可以表示为首尾相连的通路形式，也就是说，邻接矩阵A可以表示通路长度为1的通路，那么
A
2
=
A
×
A
A^2=A\times A
A2=A×A可以表示通路长度为2的个数，那么.
A
3
=
A
2
×
A
A^3=A^2\times A
A3=A2×A可以表示通路长度为3的通路个数。
长度为l的通路表示
看个例子
其中简单验证一下我们也可知道，这里
A
2
=
A
×
A
A^2=A\times A
A2=A×A，
A
3
=
A
2
×
A
A^3=A^2\times A
A3=A2×A,
A
4
=
A
3
×
A
A^4=A^3\times A
A4=A3×A.
当然还有另外一种方法，就是直接在图中找长度为对应的通路个数。例如：
A
2
A^2
A2里的第二行第一列元素，即为
v
2
v_2
v2到
v
1
v_1
v1通路长度为2（通路经过2条边）的个数，为3条。值得注意，这里的自环可以循环灵活使用。
那么在这里我们可以解决类似以下的问题：
(1) 长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？
(2) 长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？
将对应矩阵里面的元素直接求和即可
长度 通路 回路
1 8 1
2 11 3
3 14 1
3 17 3
合计 50 8
其中回路为特殊的通路（自己到自己的通路）
有向图的可达矩阵
定义
可达矩阵描述的是一种连通性，强调的是通路的存在，并不在意通路的长度是多少，这里一定要和邻接矩阵区别开。
例子
标签：表示,通路,矩阵,邻接矩阵,times,5.3,长度,关联矩阵 来源： https://blog.csdn.net/sinat_20471177/article/details/118093546
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。