标签：return int 扩展 times pmod BSGS equiv
首先你要知道什么是 BSGS。
BSGS 用于求解形如 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的高次同余方程，其中保证 \(p\) 为质数。
根据费马小定理定理，当 \(p\) 为质数时，\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。
所以当 \(x\) 有解 \(>p-1\) 时，也必然有 \(y=x-(p-1)\) 为方程的解，换言之，保证 \(0\sim p-1\) 内有解，或者无解。
设 \(t=\sqrt p\)，假设解为 \(t\times i-j\)，\(i,j\) 的取值均只有 \(t\) 种，可以事先枚举存入 Hash_Table / Map 里。
因为 \(a^{t\times i-j}\equiv b\pmod p\)，所以有 \(a^{t\times i}\equiv b\times a^j\pmod p\)，再次枚举 \(j\) 的取值后在之前的表中查找即可。
时间复杂度就为 \(O(\sqrt p)\)，当然用 Map 带个 \(\log\)。
int BSGS(int a, int b, int p){
Hash.clear();
int t = (int)sqrt(p) + 1;
b %= p;
for(int i = 0; i < t; i ++){
int val = 1LL * b * Pow(a, i, p) % p;
Hash.insert(val, i);
}
a = Pow(a, t, p);
if(a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;
for(int i = 0; i <= t; i ++){
int val = Pow(a, i, p);
int j = Hash.find(val);
if(j >= 0 && i * t - j >= 0) return i * t - j;
}
return -1;
}
扩展 BSGS，即不保证 \(p\) 为素数。
假设 \(d=\gcd(a,p)>1\)，若 \(b\ {\rm mod}\ p\not = 0\)，就无解。
否则因为 \(a\times d\equiv b\times d\pmod {p\times d}\) 等价于 \(a\equiv b\pmod {p}\)，可以直接消去。
直到 \(a,p\) 互质，假设总共用了 \(k\) 个 \(a\)，那 \(k\) 个 \(a\) 消去后的乘积为 \(A\)，除后的 \(b,p\) 为 \(B,P\)，则问题等价于。
\(A\times a^{x-k}\equiv B\pmod P\)，再转化一下变为 \(a^{x-k}\equiv B\times Inv(A,P)\pmod P\)。（\(Inv(A,P)\) 表示 \(A\) 在\({\rm mod}\ P\) 意义下的逆元）
这是标准的 BSGS。
模板题放这，卡常卡的人都傻掉了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int MOD = 999991;
int a, p, b;
inline int read(){
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') f = (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
return x * f;
}
struct Hash_Table{
int cnt, head[N], nxt[N], val[N], num[N];
void clear(){
cnt = 0;
memset(head, 0, sizeof(head));
}
void insert(int v, int k){
int u = v % MOD + 1;
for(int i = head[u]; i; i = nxt[i])
if(val[i] == v){num[i] = k; return;}
nxt[++ cnt] = head[u];
val[cnt] = v, num[cnt] = k;
head[u] = cnt;
}
int find(int v){
int u = v % MOD + 1;
for(int i = head[u]; i; i = nxt[i])
if(val[i] == v) return num[i];
return -1;
}
} Hash;
inline int Gcd(int a, int b){
while(b){
int c = a;
a = b, b = c % b;
}
return a;
}
inline int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(!b){x = 1, y = 0; return a;}
int d = exGcd(b, a % b, x, y);
int z = x; x = y, y = z - a / b * y;
return d;
}
inline int Pow(int a, int b, int p){
int sum = 1;
for(; b; b >>= 1){
if(b & 1) sum = 1LL * sum * a % p;
a = 1LL * a * a % p;
}
return sum;
}
inline int Inv(int a, int p){
int x, y;
exGcd(a, p, x, y);
return (x % p + p) % p;
}
inline int BSGS(int a, int b, int p){
Hash.clear();
int t = (int)sqrt(p) + 1;
b %= p;
for(int i = 0; i < t; i ++){
int val = 1LL * b * Pow(a, i, p) % p;
Hash.insert(val, i);
}
a = Pow(a, t, p);
if(a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;
for(int i = 0; i <= t; i ++){
int val = Pow(a, i, p);
int j = Hash.find(val);
if(j >= 0 && i * t - j >= 0) return i * t - j;
}
return -1;
}
inline int exBSGS(int a, int b, int p){
a %= p, b %= p;
if(b == 1 || p == 1) return 0;
int k = 0, d, A = 1;
while((d = Gcd(a, p)) > 1){
if(b % d != 0) return -1;
k ++;
b /= d, p /= d, A = 1LL * A * (a / d) % p;
if(A == b) return k;
}
int ans = BSGS(a, 1LL * b * Inv(A, p) % p, p);
if(ans == -1) return -1;
return ans + k;
}
int main(){
a = read(), p = read(), b = read();
while(a){
int ans = exBSGS(a, b, p);
if(ans == -1) puts("No Solution");
else printf("%d\n", ans);
a = read(), p = read(), b = read();
}
return 0;
}
标签：return,int,扩展,times,pmod,BSGS,equiv 来源： https://www.cnblogs.com/lpf-666/p/14835854.html
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