数论分块 对于某些数列求和操作，求和的项数过大，直接求和会超时，但是数列中数的种数较少，且相同的数分布连续。此时需要找到一种方式能快速求出每种数的分布边界，然后枚举每一种数快速求和。 基本形式类似于 ∑
目录欧拉函数欧拉函数的定义欧拉函数的计算欧拉函数的代码实现单求一个数字n的欧拉函数——分解质因数算法题目AcWing 873. 欧拉函数求1到n中所有数字的欧拉函数和——筛法——欧拉筛前置题目AcWing 874.筛法求欧拉函数 欧拉函数 欧拉函数的定义 对于正整数n，小于且与n互质的正整数
目录BSGS欧拉定理P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑P4139 上帝与集合的正确用法CF906D Power TowerP3934 [Ynoi2016] 炸脖龙 IP3747 [六省联考 2017] 相逢是问候扩展中国剩余定理P4774 [NOI2018] 屠龙勇士 建议配合数论相关复习食用。 会不断更新的。 BSGS 按着下面这个博客刷的，我
Z上的线性方程 形如ax+by的最小正整数与gcd(a,b)相等 线性方程定理 a \neq 0 \and b \neq 0$，$ax + by = gcd(x,y)总有一整数解(x_1, y_1) 同余式 若a_1 \equiv b_1(\mod \space m)$、$a_2 \equiv b_2(\mod \space m)，则： a_1+a_2 \equiv b_1+b_2(\mod \space m) a_1 \cdot a_2 \e
莫比乌斯反演神题 换言说，就算你推出柿子还是不会那个神奇的伯努力数。。。。 那么这样，我们先推一波柿子： $f_d(n)\\=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]i^d\\ =\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{t|gcd(i,n)}\mu (t)\\ =\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{t|i \textit{ } and \textit{ } t|n}\mu(t)\\ =\sum_{t
逆元 什么是逆元 在数论中，如果 \(ab \equiv 1 \pmod{p}\) ，我们就说 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(p\) 意义下互为乘法逆元，记作 \(a = inv(b)\)。 逆元有什么用呢？ 我们常常遇到一些题目要求结果对一个大质数 \(p\) 取模，这是因为答案很大，出题人为了不麻烦大家写高精，就采取这样的方法。加减
数论学习笔记 写在前面： 笔者一向认为，证明是学习数学的重中之重。证明不仅是一个逆向的过程，它可以成为一种正向的灵感， 或者方法， 或者技能， 可以推导出新的结论。数学不是一门面向结论的学科， 恰恰相反他是面向对象过程的。 然而， 笔者能力有限，不一定有精力给出所有证明， 所以：在一开
定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明 设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就只需要证明gcd(b,r)=c即可。 ∵r=a−kb=mc−knc，∴gcd(b,r)=gcd(nc,mc−knc)=gcd(nc,(m−kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m−kn)=1即可。 设n=xd,m−kn=yd，那么m=kn+yd=kxd+yd
数论啊！ 赛时 知道考数论后很慌，这里基本停留在只能看懂题解的程度…… 开题，果然发现一道题都不会QAQ 看到T1认为一定有规律。手推了\(1h\)后发现了(错误)的规律，打表并输出。 T2感觉可做，在写完T1后来想这道题。 可以确定：最佳决策点一定是经过某条线段的端点的。 于是想到\(O(n^3)\)
为了迎接明天的考试，临阵抱佛脚一下下（ 求单个欧拉函数值： int euler_phi(int n) { int ans = n; for (int i = 2; i * i <= n; i++) if (n % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; } if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); re
一、快速幂 递归写法 int quickpow(int a,int b,int c) { if(b==1) return a%n; int t=quickpow(a,b/2,c)%n; t=t*t%n; if(b%2==0) return t; else return t*a%n; } 非递归写法 int quickpow(int a,int b,int n) { int ret=1; while(b) { if(b%2==1) ret=ret*a%n; a
目录欧几里得算法Eratosthenes素数筛前置筛法代码扩展欧几里得算法问题分析例题 欧几里得算法 直接上代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int main() { int a, b; cin >> a >> b; cout
欧拉定理 若 \(a,p\) 互质，则 \(a^{\phi(p)} \equiv 1(mod~p)\) 其中 \(\phi(p)\) 表示的是小于等于 \(p\) 中和 \(p\) 互质的数的个数。 \(\phi(p) = p\times \prod \frac{s_i - 1}{s_i}\) ，其中 \(s_i\) 为 \(p\) 的质因数。 不难看出，如果 \(x,y\) 互质，\(\phi(xy) = \phi(x)\phi(y
目录 欧几里得算法裴蜀定理扩展欧几里得算法线性同余方程 欧几里得算法 欧几里得算法，即辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。 核心原理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 一个基本的性质：d |
定义 \(a|b\)，则\(a=bk\)。 \(\forall\)对于任意。 \(\exists\)存在。 \(s.t.\)使得。 \(e.g.\)举个例子 \(\forall\)女生喜欢\(zcysky\)（光速逃 \(\gcd(a,b)\)或\((a,b)\)为\(a,b\)最大公约数。 若\((a,b)=1\),则称\(a\bot b\) \(\gcd\)满足交换律，结合律，似乎可以用线段树维护。 \((
数论模板 1.快速幂 模板 int mypow(int a,int b ,int p) { ll ans=1; while(b) { if(b&1) ans=ans*a%p; a=(ll)a*a%p; b>>=1; } return ans%p; } 2.筛法 2.1埃氏筛法 模板 const int maxn=1e6+10; bool vis[maxn]; int
在李煜东的书上做题，做到余数之和（https://www.luogu.com.cn/problem/P2261），发现这个是整除分块的模板题。。不是很会，学学。 看完上题，对于这个式子$$ \sum _{i=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $$ 一定不会陌生 这个式子在oi数论中十分常见，莫比乌斯反演等都会用到。求解这个式子
此笔记是按照知乎 钩里裹镓 在西安交大 2021 数论暑期学校手抄的 笔记 结合自己的理解达成的 markdown Day 1：首都师范，徐飞 \[\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \stackrel{|\cdot|_{\infty}}{\longrightarrow} \mathbb{R} \]即可用通常的 Archimede 度量完
数论简介 number theory 最近自己要开始打算写论文，但是之前自己在word中整理的很多内容有很多地方有开始有些遗忘，这个完整的整理资料，在我发表的资源：10数论简介.docx中，如果有需要可以下载，因为这个是我研一上学期总结的，所以如果有错误，欢迎指出。 这个可以去有想去学习，但是找不
整理的算法模板合集： ACM模板 点我看算法全家桶系列！！！ 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 写在最前面：本文部分内容来自网上各大博客或是各类图书，由我个人整理，增加些许见解，仅做学习交流使用，无任何商业用途。因个人实力时间等原因，本文并非完全原创，请大家见谅。 目录 0x40
文章目录 预备知识和基本群论素数与可除性模算术群Z*< N>群群同构与中国剩余定理 素数、 大数分解和 RSA随机素数的产生素数判定因子分解假设RSA 假设关联 RSA 和分解假设 循环群中的密码学假设循环群和生成元离散对数和 Diffie-Hellman 假设在Zp（的子群 ）中工作椭圆曲线群
数学/数论专题-专项训练：线性基 1. 前言2. 练习题[P4301 [CQOI2013] 新Nim游戏](https://www.luogu.com.cn/problem/P4301)[P4151 [WC2011]最大XOR和路径](https://www.luogu.com.cn/problem/P4151)[P5556 圣剑护符](https://www.luogu.com.cn/problem/P5556) 3. 总结 1.
引例:区间极大值 NKOJ2743 1.怎么分块 ? 1.把长度为 N 的区间分成若干块，每块长度为 S，共 N / S 块（除最后一块外）； 2.其中第i块表示的区间范围是[(i - 1) * S + 1,i * S]; 3.将每一块表示的数字记录下来，其中第i块记录在Max[i]中; 2.怎么操作 ? 一.将第X个数A[x]改为A[x] + Y: 1).A[x]
扩展欧几里得 求x大于0的第一个解：由扩展可以求出x的一个解,又因为所有x对b（由上式得此时的b = abs(b/d)，要保证后面求得x大于零，此处必须求绝对值）同模，所以x%b也是x的一个解，如果此时x%b大于零，则是大于零的最小解，如果小于零，则是小于零的最大解，所以 (x%b + b)%b肯定是大于0的
数论——两种质数筛法 1. 埃氏筛 $$ O(n loglogn ) $$ 质数的倍数都是合数。借助这个性质，我们可以先找到一个质数，并利用这个质数，将范围内所有非质数（合数）的给先打上标记 缺点：6会被2和3给打上两次标记，会造成计算的浪费 bool nprime[N];//0为否定，为质数 ，1为肯定，为非质数 int p
