1.二次同余式 二次同余式是关于未知数的二次多项式的同余方程。即：是一个二次同余方程。 此外，称为最简二次同余式，或称最简二次同余方程。 一般的，通过配方，可以把一个一般的二次同余方程转化为一个最简二次同余式 以上搬运自百度百科。 接下来只需要讨论最简二次同余式。 2二次剩余 2
两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。 记作：a≡b (mod m)， 读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。 设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。 显然,有如下事实 （1）若
传送门 首先分析了一下之后，可以得到两种情况： 1.整个图无环。此时的最大值是每个连通块内最长链的和，最小值是3（注意最少面具数是3，不满足直接输出-1 -1） 2.图中有环。这里的环分为很多种：一种是首尾相连形成的环，，一种是奇奇怪怪的环例如1->2->3->4->5->6,7->6,7->8,1->8。 我们尝试从任
给定\(n\)个形如\(x \equiv a_i(mod b_i)\)的同余方程，求出最小正整数解。 模板题 证明 首先对于两个同余方程： \(x \equiv a_1(mod b_1)\) \(x \equiv a_2(mod b_2)\) 我们可以进行一次“合并”操作，将上面两个方程合并为一个同余方程： \(x \equiv a_3(mod b_3)\) 那么如何合并呢？首先
正常的欧几里得算法 1 int gcd(int a,int b){ 2 return b==0?a:gcd(b,a%b); 3 } 可以在O(n)的时间复杂度内，求出a和b两数的最大公约数。 而扩展欧几里得算法则可以在求出最大公约数的同时，求出两个数x，y，使得x*a+y*b=gcd(a,b)，用处就是可以用来求解线性同余方程（写在下边） 1 //推
题目 题目地址 题解 当出现形如“给定 \(n\) 个整数，求这 \(n\) 个整数能拼凑出多少的其他整数（\(n\) 个整数可以重复取）”，以及“给定 \(n\) 个整数，求这 \(n\) 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。 引自 OI-wiki。 不妨设 \(x < y < z\)。（为了减
裴蜀定理 上一篇提到过，\(ax+by=c\)有解，当且仅当\(c=m*gcd(a,b)\) (m为正整数) 所以当\(gcd(a,b)=1\)时，c可以取任意数 线性同余方程 推导 形如 \(ax \equiv c \pmod b\) 的东西叫线性同余方程 (Congruence Equation) 怎么解？ 这不就相当于 \((ax-c)\%b==0\)，即\((ax-c)\)为\(b\)倍数
中国剩余定理（chinese remainder theorem） 若整数\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互质，且\(M=m_1m_2\cdots m_n\)，那么对于任意整数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，关于\(x\)的同余方程组 \[\begin{cases} x\equiv a_1\,mod\,m_1\\ x\equiv a_2\,mod\,m_2\\ \vdots\\ x\equiv a_n\,mod\,m_
离散数学6 初等数论 目录离散数学6 初等数论第19章 初等数论素数整除、带余除法整除的性质素数、合数素数与合数的性质素因子分解——算术基本定理素数检测——Eratosthene筛法最大公约数与最小公倍数互素辗转相除法——求最大公因子同余一次同余方程中国剩余定理欧拉定理与费马
本系列文章将于2021年整理出版。前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社 网购：京东 当当 作者签名书：点我 公众号同步：算法专辑 暑假福利：胡说三国 有建议请加QQ 群：567554289 目录1. 同余概述1.1. 同余定义1.2. 一些定理和性质2. 一元线性同余方程3. 逆3.1.逆的概
你好，我是黄申。今天我们来聊聊“余数”。提起来余数，我想你肯定不陌生，因为我们生活中就有很多很多与余数相关的例子。比如说，今天是星期三，你想知道 50 天之后是星期几，那你可以这样算，拿 50 除以 7（因为一个星期有 7 天），然后余 1，最后在今天的基础上加一天，这样你就能知道 50 天之后是星
今天粉兔同学问了一个问题：如何证明贝尔数的 Touchard’s Congruence 性质： Bn+p≡Bn+1+Bn(modp) B_{n+p} \equiv B_{n+1} + B_n \pmod p Bn+p≡Bn+1+Bn(modp) 其中 ppp 是质数，BnB_nBn 是贝尔数。 为了证明这个问题，我们首先证明一个引理： 引理 1：∑k{pk}xk≡x+xp(modp)
链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2662 题目要求求出最大不能拼凑出来的木板长度，因此我们把最短的木板作为剩余系，扫描其他的木板并建边。题目另外说每个木板可以最多截掉m米，那么只要再扫描到每个木板的时候依次扫描这个木板能被截成的长度就好了。 如何解决不能凑出
链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3403 题意：给出了三个数字，让我们找出可以由这三个数字组合合成的所有数字数量（在一定范围内） 思路：第一次遇到这种题。我们先将这三个数按从小到大排序； 分别表示为a,b,c； 那么(b mod a) (c mod a),肯定是a的剩余系； 什么是剩余
前言：从寒假开始学了好几遍，都没完全掌握QAQ --------------- 在讲同余之前，我们先来讲扩展欧几里得。 扩展欧几里得算法 首先，我们知道这样一个式子： $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。 辗转相除法，可以用来求两个数的最大公因数。 而扩展欧几里得($exgcd$)，是用来求不定方程$ax+by=c$的解的
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 思路：设定mod=9973，由于gcd(B,mod）=1，所以B对mod的逆元B'是可求得，然后(A/B)%mod=(A*B')%mod=((A%mod)*B')%mod=(n*B')%mod;所以本题的关键就是要求B对mod的逆元。 代码如下： 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace s
# 费马小定理 若p是质数，则对于任意的整数a，有ap ≡ a (mod p) # 欧拉定理 若正整数a，n互质，则aφ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是欧拉函数 # 欧拉定理的推论
求1~n所有数的逆元： 假设1~i-1的逆元已求出,设p÷i=d……r（商d余r），则p=i*d+r。其中r=p%i。 对p=i*d+r，等式两边同时%p，得到0=（i*d+r）%p。 即为0≡i*d+r(mod p)（同余有一条性质：如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有ax≡by(mod m)。） 由同余的自反性（一个数永远和自己本身同余）可知：i^-1*r^-1≡i^-1*
luogu P1082 同余方程 题目描述 求关于方程\(ax \equiv 1 (\mod b)\)的最小整数解 输入 含两个正整数 \(a,b\)用一个空格隔开。 输出 一个正整数\(x\)，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。 样例 $in 3 10 \(out\) 7 答题过程： \[ ax = yb + 1 \\ ax - by = 1 \\ \because gcd(a,
整除、同余的概念及快速幂 整除、余数都是小学概念，但还是得学习一些细节。 整除 1、 a∣ba|ba∣b 代表b可以被a整除，b是a的倍数，a是b的约数。 2、约定0可以被任何数整除。 3、若存在整数 xxx ,yyy 使得a∗x+b∗y=1a*x+b*y = 1a∗x+b∗y=1，且a∣na|na∣n、b∣nb|nb∣n，那么(a∗b)
线性同余方程 参考：线性同余方程 同余方程\(ax\equiv b(mod c)\) 定理1： 方程\(ax+by=c\)与方程\(ax\equiv c(mod b)\)是等价的，有整数解的充要条件为\(gcd(a,b)|c\)。 根据定理1，我们可以先利用扩展欧里几得算法求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组解\(x_0\)和\(y_0\)，然后我们可以将该
中国剩余定理-CRT 一.什么是CRT？ CRT是用来解决线性同余方程组的求解的算法。它的前提是所有的模数互质就好。同时也是唯一一个以中国开头的算法（作为中国人要好好学呀）。 二.算法流程 首先从老祖宗的角度出发，他们当时解决的是这样一个问题。（为什么老祖宗这么强Orz) 三人同行
合并线性同余方程 一.问题引入 再做题过程中，我们可能会遇到这样的情况： \[ \begin{align} x\equiv r_1(mod\;m_1)\\ x\equiv r_2(mod\;m_2)\\ x\equiv r_3(mod\;m_3)\\ .... \end{align} \] 要对这些线性同余方程求解，而我们可以通过合并方程解决这种问题。 二.解决方法 先来看看对
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 上述问题便是一个具体线性同余方程组。所谓线性同余方程组，就是形如： \[ \left\{\begin{array}{c} {x \equiv a_{1}\pmod {m_{1}}} \\ {x \equiv a_{2}\pmod {m_{2}}} \\ {\vdots} \\ {x \eq
同余 1.定义 设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m) 2.性质 1）基础性质： 自反性：a ≡ a(mod m) 对称性：若a ≡ b(mod m)，则 b ≡ a(mod m) 传递性：若a ≡ b(mod m)，b ≡ c(mod m)，则a ≡ c(mod m) 2）运算性质 同加
