标签：prime limits P429 数论 res sum cdots 因数 欧拉
欧拉计划 P429 Sum of squares of unitary divisors（数论）
传送门：https://projecteuler.net/problem=429
题目大意：
定义一个数
n
n
n 的因数
d
d
d 为独立因数，当且仅当
gcd
(
d
,
n
/
d
)
=
1
\gcd(d,n/d)=1
gcd(d,n/d)=1 。定义函数
s
(
n
)
s(n)
s(n) 为
n
!
n!
n! 的所有独立因数的平方和。求
s
(
100000000
!
)
m
o
d
1000000009
s(100000000!) \bmod 1000000009
s(100000000!)mod1000000009 。
题解：好久没做过欧拉计划了。。。没想到随手一翻就找到了一道很像acm数论题的题目。。。考虑唯一分解定律，
∀
n
∈
N
,
n
=
p
1
s
1
p
2
s
2
⋯
p
r
s
r
\forall \space n\in N,n=p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_r^{s_r}
∀ n∈N,n=p1s1p2s2⋯prsr ，一个因数为独立因数时，那么这个独立因数一定可以写成
p
a
1
s
a
1
p
a
2
s
a
2
⋯
p
a
k
s
a
k
p_{a_1}^{s_{a_1}}p_{a_2}^{s_{a_2}}\cdots p_{a_k}^{s_{a_k}}
pa1sa1pa2sa2⋯paksak 的形式，那么只要求出所有的
p
i
s
i
p_i^{s_i}
pisi ，再将它们一一组合起来即可。此时存在两个问题：
（1）如何求出阶乘数的所有的
p
i
s
i
p_i^{s_i}
pisi ？
根据定义，一个阶乘数
n
!
=
∏
i
=
1
n
i
=
∏
i
=
1
n
p
a
i
1
s
a
i
1
p
a
i
2
s
a
i
2
⋯
p
a
i
k
s
a
i
k
=
p
1
∑
i
=
1
n
s
i
1
p
2
∑
i
=
1
n
s
i
2
⋯
p
r
∑
i
=
1
n
s
i
r
n!=\prod\limits_{i=1}^ni=\prod\limits_{i=1}^np_{a_{i1}}^{s_{a_{i1}}}p_{a_{i2}}^{s_{a_{i2}}}\cdots p_{a_{ik}}^{s_{a_{ik}}}=p_1^{\sum\limits_{i=1}^ns_{i1}}p_2^{\sum\limits_{i=1}^ns_{i2}}\cdots p_r^{\sum\limits_{i=1}^ns_{ir}}
n!=i=1∏ni=i=1∏npai1sai1pai2sai2⋯paiksaik=p1i=1∑nsi1p2i=1∑nsi2⋯pri=1∑nsir
那么对于一个质数
p
p
p ，只要求出
∑
i
=
1
⌊
n
p
i
⌋
\sum\limits_{i=1}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor
i=1∑⌊pin⌋ 作为次方即可。
（2）如何求出所有的组合情况？
对于每个质数次方数
p
i
s
i
p_i^{s_i}
pisi ，都有取或不取两种情况，此时的组合情况数量为
2
π
(
n
)
2^{\pi(n)}
2π(n) ,
π
(
n
)
\pi(n)
π(n) 为
[
1
,
n
]
[1,n]
[1,n] 中所有质数的数量。显然这个数量我们是不可能通过暴力求解得出所有的组合情况的，那么应该如何简化问题？考虑
s
(
n
)
s(n)
s(n) 求的是所有独立因数的平方和，我们可以通过生成函数的思想去得出答案，作出多项式
∏
i
=
1
(
p
i
2
s
i
+
1
)
\prod\limits_{i=1}(p_i^{2s_i}+1)
i=1∏(pi2si+1) ，不难发现这东西涵盖了所有的组合情况，那么这个多项式最后得到的结果就是
s
(
n
)
s(n)
s(n) 的值。此时暴力求这个连乘式就行。
结尾附上AC结果和代码～
#include<iostream>
#include<bitset>
#include<vector>
using namespace std;
#define debug(x) cerr<<#x<<":"<<x<<endl
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<":"<<x<<" "<<#y<<":"<<y<<endl
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<":"<<x<<" "<<#y<<":"<<y<<" "<<#z<<":"<<z<<endl
typedef long long ll;
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e8,M=1000000009;
ll cnt=0,prime[N+1];
bitset<N+1> vis;
vector<ll> pf;
ll qpow(ll a,ll b){
ll res=1;
while(b){
if(b&1) res=(res*a)%M;
a=(a*a)%M;
b>>=1;
}
return res;
}
void pre(){
cout<<"Start!"<<endl;
for(int i=2;i<=N;++i){
if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;
for(int j=0;i*prime[j]<=N;++j){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
int main(){
pre();
cout<<"The primes' count is "<<cnt<<endl;
ll res=1;
for(int i=0;i<cnt;++i){
if(M%prime[i]==0) cout<<prime[i]<<endl;
ll k=0,t=prime[i],tt=prime[i];
while(N/t){
k+=N/t;
t=t*tt;
}
t=qpow(prime[i],k<<1ll)+1;
res=t*res%M;
}
cout<<"The result is "<<res<<endl;
}
标签：prime,limits,P429,数论,res,sum,cdots,因数,欧拉 来源： https://blog.csdn.net/m0_52639539/article/details/117326347
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