标签：方案 这个 noip 离散 棋子 模拟 区间 转移 考试

排序

考场上的想法是求出一种然后全排列，但是没有意识到可以操作的组合可能是不同的
首先可得到一个结论：操作的先后顺序对结果没有影响，所以每找到一种合法的操作组合，就可以将阶乘计入答案
因为有这个结论，所以不妨从低位向高位考虑，因为高位修改不改变低位，所以在扫到高位时，低位应该已经修改好了
也就是说，当考虑 \(2^i\) 的区间时，所有长度为 \(2^{i-1}\) 的区间都应该是依次排好顺序的
那么可以用 dfs 来向下递归解决问题，在 \(i\) 层尝试将所有 \(2^i\) 的区间排好序
这个时候所有有序的 \(2^{i-1}\) 区间连接处可能不满足所求，有以下几种情况：

• 没有这样的情况，可以直接向下一层递归
• 只有一处，那么将这两个 \(2^{i-1}\) 区间互换
• 只有两处，那么将这两组 \(2^{i-1}\) 区间每组选一个来互换，共有四种方式
• 超过两处，这时不可能排好序了，直接跳出

另外，即使这样换也只能保证大小有序，还需在换后验证是否连续来剪枝

划艇

题意：给定变量 \(A_{1...n}\) 的范围 $ [a_i,b_i] \cup {0 }$，求选出一个 大于 0 的所有数能组成严格上升序列 的序列 的方案数
首先很明显这个 \(1e9\) 的范围需要离散化，但是思路卡在了离散化后同区间内贡献的计算上
类似于暴力 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数，第 \(i\) 个选在第 \(j\) 段里的方案数
如果继续按照暴力的想法就陷入了思维陷阱：从 \(i-1\) 转移到 \(i\)，两个数在同区间内的贡献不好计算
为什么这样不能算，根本原因是不知道 \(i-1\) 里选的数到底是啥，而如果另记录这个数，离散化就没意义了
这个时候应该考虑抛开 \(i-1\) 的具体数值，而使转移更多的和离散后分成的 \(2n\) 个区间联系在一起
暴力的转移中，我们一个一个加数，而这时既然离散成了很多区间，能不能按区间加数呢
如果这样，就先需要枚举出 \(i\) 之前，在这个区间里的数向左延伸到了多少，设其为 \(k\)，那么就能有类似于 \(f_k * w_{k+1,i}\rightarrow f_i\) 的转移
因为复杂度 \(O(n^3)\) 已经可以接受，现在的目标就变成了求出转移里的 \(w\)
在这里，\(w\) 就是原数列一段区间内，用同一个离散化区间里的数组成上升序列的方案数
首先，这个原数列的区间里，只有一部分的取值范围与这个范围有交集，而其他的就都是 0
对于有可能不为零的数，设有 \(k\) 个，若当前范围长度为 \(L\)，要解决的问题即可转化为：用 \([0,L]\) 组成一个除 0 外严格递增的长度 \(k\) 的数列的方案数
为了方便统计，钦定 \(f_i\) 中第 \(i\) 位必选，那么这个问题的答案即为 \(C_{L+k-1}^k\)
那么现在就可以转移了，按顺序加入区间，类比01背包倒着更新每一个位置
这样就不需要第二维了，前缀和优化掉
因为 \(L\) 的范围不好直接算组合数，所以可以直接用公式递推处理

放棋子

因为一种棋子放下后，会有一些行列被控制，而对于剩下的将由另外种类的棋子控制的行列，就转化成了新的子问题
首先分开计算每种棋子控制每种行列数量的方案，然后合起来就能得到所有种类棋子控制每种行列数量的方案
最后每个种类乘一个组合数求和就得到了答案

计数dp一直都是比较头疼的一块qaq感觉还没有找到要领，希望尽快能不要一见模数就敲起 dfs 吧qaqaq

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来源： https://www.cnblogs.com/zzzuozhe-gjy/p/14801836.html

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