标签：aligned frac Luogu ll P5515 斜率 && 灵梦 getchar
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题目大意：
求出 \(\lfloor n^a+n^b\rfloor\) 相等时，\(n\) 的上下界的差值。
正文：
如果不取整，函数 \(f(x)=x^a+x^b\) 的图象是这样的：
我们要找的是最大的 \(x_1-x_2\)。
现在我们知道 \(f(x_1)-f(x_2)\rightarrow 1\)，即它趋向于 \(1\)。我们知道斜率的公式是 \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)，我们可以通过斜率 \(k\) 倒推 \(x_1-x_2=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{k}\)。
而求斜率 \(k\)，可以求导。设 \(u(x)=x^a,v(x)=x^b\)，则 \(f(x)=u(x)+v(x)\)。
\[\begin{aligned}k=f'(x)&=u'(x)+v'(x)\\ &=(x^a)'+(x^b)'\\ &=ax^{a-1}+bx^{b-1}\end{aligned}\]然后答案 \(x_1-x_2=\frac{0.\dot{9}}{k}\)。
代码：
inline ll READ()
{
ll x = 0, f = 1;
char c = getchar();
while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
if (c == '-') f = -f, c = getchar();
while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
namespace Mker
{
// Powered By Kawashiro_Nitori
// Made In Gensokyo, Nihon
#define uint unsigned int
uint sd;int op;
inline void init() {scanf("%u %d", &sd, &op);}
inline uint uint_rand()
{
sd ^= sd << 13;
sd ^= sd >> 7;
sd ^= sd << 11;
return sd;
}
inline double get_n()
{
double x = (double) (uint_rand() % 100000) / 100000;
return x + 4;
}
inline double get_k()
{
double x = (double) (uint_rand() % 100000) / 100000;
return (x + 1) * 5;
}
inline void read(double &n,double &a, double &b)
{
n = get_n(); a = get_k();
if (op) b = a;
else b = get_k();
}
}
int t;
double n, a, b, k, ans;
int main()
{
t = READ();
Mker::init();
for (; t--; )
{
Mker::read(n, a, b);
k = a * pow(n, a - 1) + b * pow(n, b - 1);
ans += 0.9999999 / k;
}
printf ("%.5lf", ans);
return 0;
}
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