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  • AVL tree 高度上下界推导2022-08-06 20:03:18

    1. 高度下界 2. 高度上界 2.1. 最大高度对应 Node 数量 \(N_{h}\) 的递归公式 设有一棵 AVL tree 的高度为 \(h\), 对于该树, 其 node 数量为 \(N_{h}\). 有: 最坏情况下, root 的两棵 subtree 高度为 \(h-1\) 和 \(h-2\). 因此得到以下公式 (其中 \(h \in N^{+}\)): \[N_{h}= \be

  • 组合数学和群论2022-08-05 08:33:53

    五、组合数学 生成函数常识 对于数列\(\lbrace a_n \rbrace\),函数 \[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ik_i(x) \]是它的生成函数 \(k_n(x)\)被称为核函数 分类 \(1.\)普通生成函数:\(k_n(x)=x^n\) \(2.\)指数生成函数:\(k_n(x)=\frac{x^n}{n!}\) \(3.\)狄利克雷生成函数:\(k_n(x)=\frac1

  • hdu71862022-08-03 22:05:14

    题面 根据唯一质数分解定理可得,一个正整数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}\) ,设 \[f(n)=\frac{n}{\prod_{i=1}^k c_i} \]给定 \(n\) ,求: \[\sum_{i=1}^n f(i) \]数据范围:\(n\le 10^{12}\) 。 题解 数论好题!从没碰到过的类型! 首先要注意到 \(f(n)\) 是一个积性函数,碰到积性函数的前缀

  • 网络流2022-07-30 17:02:57

    "流网络" 定义流网络为一个有向,联通,无自环,无反向边的图 \(G(V,E)\)。 定义每条边有一个容量 \(c(u,v)\),满足 \(c(u,v)\geq 0\)。 定义流网络 \(G\) 的源点和汇点为两个点 \(s,t\in V\),除了 \(s\),每个点 \(u\in V\) 的入度都至少为 \(1\)。 定义流网络 \(G\) 中的一个流 \(f\) 为一

  • 题解 I. Ice Drinking "蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营32022-07-26 10:01:21

    传送门 【分析】 先推一波公式: 答案 \(res\) 显然有公式:(其中 \(D_n\) 表示 \(n\) 个元素全部错排的方案数) \(\begin{aligned}res&={1\over n!}\sum_{x=0}^n\dbinom n x x^kD_{n-x}\\&=\sum_{x=0}^n{x^k\over x!}\cdot {D_{n-x}\over (n-x)!}\end{aligned}\) 由于错排问题有公式:\(

  • 2022.7.19 模拟赛2022-07-19 14:00:50

    2022.7.19 模拟赛 A 略 B 由于 \(2333333333333333=311\times749803\times1006201\) 我们考虑设这三个数分别为 \(p_1,p_2,p_3\) 然后我们暴力找出 \(x_{1\sim 3}\) 使得 \(x_i^2\equiv a\pmod {p_i}\) 上述的 \(x_i\) 只可能为 \(0\) 个或 \(1\) 个或 \(2\) 个 然后考虑对于所有

  • 进阶数论artalter级服务第三弹 杜教筛2022-07-18 18:02:25

    1.杜教筛 杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法 根据杜教筛的定义,我们设 \[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]\[g是一个积性函数 \]\[h(n)=f \times g \]\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i) \]那么有 \[\begin{aligned} H(n)&=\sum_{i=1}^nh

  • 2022.7 杂题2022-07-17 14:03:20

    P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题 组合数配合下降幂有优秀的性质: \[m^{\underline{k}}\binom{n}{m}=n^{\underline{k}}\binom{n-k}{m-k}. \]将 \(f(x)\) 转化为下降幂多项式: \[f(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^{\underline{i}}. \]对于其中的每一项 \(b_kx^{\underline{k}}\),分别计

  • latex模板2022-07-15 10:33:40

    @目录常用操作latex英文模板latex中文模板常用操作 latex中“盒子”的概念(box)? parbox makebox 常用操作 给内容加颜色 {\color{red} text } 给部分文本内容加底色 \colorbox[RGB]{255, 255, 204}{ text } 给多行内容加底色高亮 \newcommand\hl[1]{\bgroup\markoverwith{\t

  • test12022-07-15 00:36:27

      隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)是可用于标注问题的模型,描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程,属于生成模型。马尔可夫链不懂的可以把本科的《概率论与数理统计》找回来看一下,并不难,就是离散状态之间的转换。下面直接定义基本概念,为后面的算法做准备。  基本

  • 生成函数听课笔记2022-07-09 17:35:26

    没听全,好毒瘤啊。先记一题: 求: \[[x^ny^n](1+x)^k(1+y)^l(1-xy)^{-k-l-1} \]考虑扩元。从二元生成函数变成四元的。 改成求: \[\begin{aligned} [u^kv^lx^ny^n]\sum_{u\ge 0,v\ge 0}(1+x)^ku^k(1+y)^lv^l(1-xy)^{-k-l-1}\\=\frac{1}{1-xy-u(1+x)}\frac{1}{1-xy-v(1+y)}(1-xy) \end{a

  • 【概率&期望】2022-07-06 18:10:54

    公式 1. 条件概率 \(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\) 证明: 显然有\(P(A|B)P(B)=P(AB)\),把\(P(B)\)除过去即可。 2. 全概率公式 设\(B_1,B_2,\cdots ,B_n\)是样本空间的一个划分,则: \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)\) 证明: \(P(A|B_i)P(B_i)\)实际上就是\(P(AB_i)\),可以考

  • 狭义相对论从入门到入土(建议初一及以上)2022-06-28 07:00:45

    欢迎来到HowardZhangdqs的劝退小课堂。这是狭义相对论从入门到入土(建议初一以上)系列的第二个集合版,修订了大量之前未发现的错误,如果大家在阅读时发现了错误欢迎联系我 zjh@shanghaiit.com 1.1 导言 何为相对论? 相对论(Theory of relativity)是关于时空和引力的理论,主要由爱因斯坦创

  • 二范数的平方2022-06-27 16:33:39

      假设有两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ ,则有:     $\begin{aligned}\|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\|^{2} &=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{T}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \\&=\left(\boldsymbol{a}^{T}-\boldsymbol{b}^{T}\righ

  • 泰勒公式及其在高中的运用2022-06-18 09:32:01

    泰勒公式及其在高中的运用 介绍 对于一些特殊的函数,由于多项式的运用更加简单,我们希望能使用多项式函数去近似地表达以便于研究这些函数的性质 而泰勒公式就可以帮助我们利用导数来拟合这些特殊函数(前面都是定义,想知道怎么推出来泰勒可以转到“推导与证明”部分) 首先根据导数我们

  • Functor 怎么会事呢2022-06-11 19:02:03

    Functor 怎么会事呢 Functor 2 axioms \(F(id_A) = id_{F(A)}\) \(F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)\) 这两个公理能证明 \[F(f(A)) = F(f)(F(A)) \]吗? 还真能 变一下形式 即证: \[(F\circ f) (A) = (F(f) \circ F) (A) \]只需 \[\begin{aligned} F \circ f =& F(f) \circ F

  • 洛谷 P1072 Hankson的趣味题题解--zhengjun2022-06-10 20:05:46

    题面传送门 吐槽一句,这么水的题目能搞成蓝色??? 好了,进入正题: 思路 首先,列出式子: \[\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,a_0)=a_1\\ lcm(x,b_0)=b_1 \end{aligned} \right. \]那么,先来看第一个式子: \(\gcd(x,a_0)=a_1\),设\(k_0=x\div a_1,k_1=a_0\div a_1\) 可以很快得出,\(\gcd(k_0,k_1)

  • 洛谷 P1072 Hankson的趣味题题解--zhengjun2022-06-10 20:05:44

    题面传送门 吐槽一句,这么水的题目能搞成蓝色??? 好了,进入正题: 思路 首先,列出式子: \[\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,a_0)=a_1\\ lcm(x,b_0)=b_1 \end{aligned} \right. \]那么,先来看第一个式子: \(\gcd(x,a_0)=a_1\),设\(k_0=x\div a_1,k_1=a_0\div a_1\) 可以很快得出,\(\gcd(k_0,k_1)

  • SP20173 题解2022-06-09 21:02:40

    题解 提供一个贝尔级数爆拆 \(\sigma_0(n^2)\) 的做法(贝尔级数可见 command_block 的博客 Part. 2)。 设函数 \(f(n)=\sigma_0(n^2)\),不难证明这是一个积性函数: 对于 \(p\bot q\),\(f(p)f(q)=\sigma_0(p^2)\sigma_0(q^2)=\sigma_0((pq)^2)=f(pq)\),且 \(f(1)=1\)。 对于积性函数,就可

  • DTOJ #5932. Counting 题解2022-06-04 19:04:37

    小学生也能看懂版题解 写出递推式: \[f_{i,j} = f_{i-1, j-1} + f_{i-1, j} + f_{i-1, j+1} \]然后有 \(O(m^3\log n)\) 的矩阵快速幂做法,相信大家都会。 递推不好/无法分析,考虑转生成函数。 \[\begin{aligned} F_0(x) &= 1\\ F_i(x) &= F_{i-1}(x)\times(x + 1 + \frac{1}{x})\\ F

  • DTOJ #5859. 树论 题解2022-06-04 18:33:54

    树论 未成年人必须先想 dp。 考虑树形 dp。 我们记 f[u][k] 表示以 \(u\) 为根的子树内,\(u\) 的权值为 \(k\) 的方案数,答案可以直接用 \(f_{u,k} \times k\) 计算。 然后考虑如何转移: \[\begin{aligned} f_{u,k} &=& \prod_{v\in \operatorname{Son}(u)}\sum_{\gcd(i,k)=1}f_{v,

  • Binomial Sum 学习记录2022-06-01 20:32:30

    binomial Sum 可以用来求 \(\sum_{i=0}^{n}[x^i]f(x)g^{i}(x)\) 即 \(f(g(x))\) 的某些项数的线性组合 , 一般是求 \([x^k]\sum_{i=0}^{n}[x^i]f(x)g^{i}(x)\) , 复杂度为 \(O(k)\) 具体流程如下: 设 \(c = [x^0]g(x)\) 设 \(F(x + c) = f(x+c) \pmod {x ^ {n+1}}\) , 这里设 \(

  • LNOI2022 游记2022-05-26 00:33:21

    这套出的比较匆忙,五月十五号得到的二十五号恢复省选的消息,当天就找人拉了些题目,十六号跟大家讨论了一下大家认为 adhoc 太多了于是捏了个现在的 T2 丢掉了一个别的题。一个是大部分出题人都比较忙或者比较鸽,另一个是大部分验题人(除了粉兔)都比较忙或者比较鸽,还有一个是因为个人情感

  • 组合意义天地灭,代数推导保平安2022-05-20 19:02:52

    也算是开一个新坑?毕竟已经退役了,哪天兴趣来了可能也会点开一些题目看看,这里记录一下那些通过完全不带脑子的代数推导来AC的题目。 #2833. 「JOISC 2018 Day 1」帐篷 首先根据题意,不难去发现有一个 \(O(n^3)\) 的做法,即枚举有多少 \(1 \times 2\) 的,有多少 \(2 \times 1\) 的,以及

  • 洛谷P3172 [CQOI2015]选数2022-05-05 22:00:59

    洛谷P3172 [CQOI2015]选数 给定正整数 \(N,K,L,H\)。 在 \([L,H]\) 内选 \(N\) 个整数,易知共有 \((H-L+1)^N\) 种方案。 而我们要求的是 \(N\) 个数的最大公约数为 \(K\) 的方案数。对 \(10^9+7\) 取模。 \(1\le N,K\le 10^9,1\le L\le H\le 10^9,H-L\le 10^5\) 令 \(l=\lceil\f

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