首页 > 其他分享> 文章详细

题解 UVA11424 GCD - Extreme (I)

2021-05-04 20:33:52 阅读：199 来源： 互联网

标签：lfloor frac GCD 题解 sum varphi UVA11424 include id

Description

求

\[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} \gcd(i, j) \]

Solution

莫反练习题。

我们知道 $id(n) = n$ ，所以原式化为：

\[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} id(\gcd(i,j)) \]

又因为 $id = \varphi \ast I $，那么：

\[\begin{aligned} id(n) & = \sum_{d \mid n} \varphi(d) \times I(\frac{n}{d}) \\ & = \sum_{d \mid n} \varphi(d) \end{aligned} \]

所以上式化为：

\[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} \sum_{d \mid \gcd(i,j)} \varphi (d) \]

把 $d$ 提到前面去，$i,j$ 改为枚举 $d$ 的倍数。

\[\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} \sum_{j = i + 1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} \varphi (d) \]

后面的变量与后面两个 $\sum$ 中的变量无关，可以直接化掉。不同于其他大佬的做法，我们先把这两个 $\sum$ 拿出来，并设 $x = {\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}$ 。两个 $\sum$ 变成：

\[\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = i + 1}^{x} 1 = \frac{x (x-1)}{2} \]

所以不用在减去重复的并除以 $2$，直接代回去可得：

\[\sum_{d = 1}^{n} \frac{x(x-1)}{2} \varphi(d) \]

枚举 $d$ 即可，复杂度 $O(n)$。

考虑到有多组数据，只是 $O(n)$ 的枚举还是会 T 掉，所以使用整除分块优化。

不会的话可以看一下这位大佬的博客 -> 整除分块

整除分块的复杂度为 $O(\sqrt{n})$，总复杂度为 $O(T\sqrt{n})$，其中 $T$ 表示有 $T$ 组数据。

剩下的看代码吧。

Code

/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;

int read(){
    int s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

LL prim[MAXN], phi[MAXN], Cnt = 0, sum[MAXN];
bool vis[MAXN];

void Init(int limit) {
    phi[1] = 1, sum[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= limit; ++i) { // 利用线性筛预处理欧拉函数
        if(!vis[i]) phi[i] = i - 1, prim[++ Cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= Cnt && i * prim[j] <= limit; ++j) {
            vis[i * prim[j]] = true;
            if(i % prim[j] == 0) { phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j]; break; }
            else phi[i * prim[j]] = phi[i] * phi[prim[j]];
        }
        sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
    }
}

int main()
{
    Init(200010);
    while(true) { // 多组询问
        int n = read();
        if(!n) return 0;
        LL ans = 0;
        for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) { // 整除分块
            r = n / (n / l);
            LL x = n / l;
            ans += x * (x - 1) / 2 * (sum[r] - sum[l - 1]);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

标签：lfloor,frac,GCD,题解,sum,varphi,UVA11424,include,id
来源： https://www.cnblogs.com/Silymtics/p/14730184.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

题解 UVA11424 GCD - Extreme (I)

Description

Solution

Code