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1. 3D Transformations

这里再上一节内容的基础上对3D 变换做个补充说明

3D下点和向量表示如下：

• 3D point \(=(x, y, z, 1)^{\top}\)

• 3D vector \(=(x, y, z, 0)^{\top}\)

• Scale

\[\mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

• Translation

\[\mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}, t_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

• Rotation

• 绕x轴旋转

\[\mathbf{R}_{x}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

• 绕z轴旋转

\[\mathbf{R}_{z}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

• 绕y轴旋转(需要注意此时sinα的符号和前面两种情况略有不同)

\[\mathbf{R}_{y}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

那么总的旋转可表示如下（称作Euler angles）：

\[\mathbf{R}_{x y z}(\alpha, \beta, \gamma)=\mathbf{R}_{x}(\alpha) \mathbf{R}_{y}(\beta) \mathbf{R}_{z}(\gamma) \]

Euler angles常用在飞机的旋转，即旋转划分成roll,pitch,yaw三个操作。

Rodrigues’ Rotation Formula
\(n,\alpha\)分别表示旋转轴向量和角度

\[\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n n}^{T}+\sin (\alpha) \underbrace{\left(\begin{array}{ccc} 0 & -n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & -n_{x} \\ -n_{y} & n_{x} & 0 \end{array}\right)}_{\mathrm{N}}\]

2. Viewing (观测) transformation

2.1 View (视图) / Camera transformation

什么是视图变换呢？

下面以拍照为例进行介绍

• Find a good place and arrange people (model transformation)
• Find a good “angle” to put the camera (view transformation)
• Cheese! (projection transformation)

2.1.1 相机的定义

那么相机需要定义如下几个向量：

• position \(\vec{e}\): 即我的相机摆在什么位置
• look-at / gaze direction \(\hat{g}\): 即相机的朝向
• up direction \(\hat{t}\): 表示相机镜头摆放方向，比如我们可以把相机横着拍，也可以正着拍。（自动脑补一下有时候摄像师为了拍摄好看的照片各种骚姿势）

一般来说我们希望相机始终位于原点，而且相机是正摆放的(Y轴正方向)，拍摄方向是朝着正前方拍的(Z轴负方向)。

假设摄像机的初始状态如右上角坐标所示，我们首先需要将其变换到左下角的坐标上去。

2.1.2 矩阵变换

那么矩阵形式如何表示呢？前面内容讲过，我们可以先把相机*移到原点，然后再做线性变化，表示如下：

\[M_{\text {view}}=R_{\text {view}} T_{\text {view}} \]

• *移到原点

\[T_{v i e w}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

• 旋转

将 \(\hat{g}\) 旋转到 \(-Z\), \(\hat{t}\) 旋转到 \(Y\), \(\hat{g}\times \hat{t}\) 旋转到 \(X\)。但是直接求这个旋转变换有点困难，所以一个讨巧的办法是我们求逆变换，即我们先求\(Z\) 旋转到 \(\hat{-g}\)，\(Y\) 旋转到 \(\hat{t}\)，\(X\) 旋转到\(\hat{g}\times \hat{t}\) ，此时逆旋转变换矩阵如下：

\[R_{v i e w}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{t} & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{t} & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{t} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

上一节中有介绍旋转矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的性质是\(A^T=A^{-1}\)，那么要求的的旋转变换矩阵，我们只需要对逆变换矩阵做转置即可求得：

\[R_{v i e w}=\left[\begin{array}{cccc} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

注意上面的\(x_{\hat{g} \times \hat{t}} , y_{\hat{g} \times \hat{t}} , z_{\hat{g} \times \hat{t}},x_t\)等是view坐标系下的坐标值，而不是在世界坐标系(\(XYZ\))。

总结： 介绍了这么多，我们为什么要大费周折的做这些变化呢？模型中的有很多顶点，这些顶点坐标是模型空间下的，而我们通常做变化都是以世界坐标为基准的，所以我们需要做模型变换。

2.2 Projection (投影) transformation

投影变化有两种实现方法，分别是正交投影和透视投影，示意图如下：

2.2.1 Orthographic (正交) projection

• 一个简单的理解方式

对于正交投影而言，结合下图来理解，相机位置放在原点，朝着\(-Z\)方向拍摄，相机正向摆放，即沿着\(Y\)方向，那么投影之后得到的东西在X-Y*面上，换句话说就是把Z轴丢掉了。不过有一点需要注意的是，投影之后一般还会把投影图像缩放成一个边长为2的正方形，即\([-1,1]^2\),这种做法是约定俗成的，另外也是方便后面的操作。

你可能会想问，这样做不是会把物体做了拉伸了吗？没错是拉伸了，所以一般在后面的操作中还会再做一次拉伸来还原的。

• General 操作步骤

我们有一个长方体(cuboid),表示为 \([l,r] \times [b,t] \times [f,n]\)，其中\(l,r\)表示在X轴上的左(left)右(right)顶点坐标值，同理\(b,t\)表示Y轴上的下(bottom)上(top)坐标,而\(f,n\)表示Z轴上远(far)*(near),这个需要注意的是因为我们默认相*朝着Z轴负方向，所以Z轴坐标值越大，表示越*，反之越远。

确定了长方体的表示后，我们需要做如下处理（同上面一样），即将长方体映射为canonical cube(正则、规范、标准正方体)，表示为\([-1,1]^3\)。

具体实现方法则是将长方体中心先*移到原点，然后再做缩放变换即可，用矩阵表示如下（下式中的\(r,l\)等表示坐标值，不是向量。）：

\[M_{\text {ortho}}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

OpenGL 采用的是左手系，所以上面式子中的负号可能相反但不影响理解。

2.2.2 Perspective (透视) projection

在介绍透视投影之前，需要介绍如下齐次坐标的一个性质：

对于3D齐次坐标内的一个点\((x,y,z,1)\)，我们任意乘以一个非零常数\(k\),得到的点\((kx,ky,kz,k)\)仍然表示同一个点。比如\([1,0,0,1]\)和\([2,0,0,2]\)表示的是同一个点\((1,0,0)\)。

下图给出了透视投影(frustum,*截头体)和正交投影的投影例子(Cuboid)。

可以看到透视投影其实就是将右边*面(即(\(f\))远*面)的东西投影到左边*面（即*(\(n\))*面），所有投影的线最后都相交于一个点，即视点。而正交投影的投影线互相之间是*行的。

很多教材在介绍透视投影时都是硬生生地给出远*面投射到**面的公式，这样非常不利于理解。为了方便理解，我们可以把这个投影拆成两步：

1. 我们先将远*面以及中间的那些*面做挤压（squish）（可以想象成把*面的四个顶点往*面的中心点靠拢，使得边长和**面长度相等）；注意挤压是对所有*面所做的操作。

2. 之后我们再对挤压后的*面再做正交投影即可。

上面第一步骤中的挤压需要满足如下几个条件

• **面上任何一个点永远不变。
• 远*面挤压前后的Z值都保持为\(f\)不变
• 远*面的中心点X,Y,Z坐标保持不变

注意远**面之间的点在做变换之后的Z轴坐标可能是会变的！！！只有远**面上的点的Z坐标才保持不变（原因在下一讲介绍），这个特别重要，后面计算会用到。

下面我们从侧面来观察远**面投影特点（看视频的时候我一直以为Q点是P点挤压后得到的点，其实P'才是，Q是P'在**面上的投影点）：

original point坐标为\(P=(x,y,z)\),transformed point（即挤压之后的点）坐标为\(P'=(x',y', m)\),而\(Q\)是\(P'\)在**面上的投影点，即二者的X、Y坐标值相等，Z轴坐标不相等。**面Z轴坐标为\(n\)，远*面为\(f\)。

注意下图中的\(P\)表示远**面上以及之间的任意点，挤压后的\(P'\)的Z轴坐标可能与原坐标并不相等，即\(m\)不一定等于\(z\)！！！

但是我们根据相似三角形可以得到挤压后的点Y轴坐标等于\(Q\)点的Y轴坐标，即\(y^{\prime}=\frac{n}{z} y\)，同理在X轴上的坐标为\(x^{\prime}=\frac{n}{z} x\),而坐标\(m\)暂不可知。

根据上面的分析可以得到在齐次坐标系下原坐标的变换过程如下(下面最右边的等价是由点的定义得到的，即点坐标乘以一个常数后仍然表示原来的点。)：

\[\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{c} n x / z \\ n y / z \\ m \\ 1 \end{array}\right) \begin{array}{c} \text { mult. } \\ \text { by z } \\ == \end{array}\left(\begin{array}{c} n x \\ n y \\ zm \\ z \end{array}\right) \]

对点坐标的挤压其实等价于左乘一个变换矩阵，等式如下

\[M_{p e r s p \rightarrow o r t h o}^{(4 \times 4)}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n x \\ n y \\ zm \\ z \end{array}\right) \]

至此可以求得左边矩阵的值为

\[M_{p e r s p \rightarrow o r t h o}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ A & B & C & D \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\]

由于挤压后的点的Z坐标\(m\)并不知道，所以上面矩阵的第三行的值都不能确定，所以用变量\(A,B,C,D\)表示。而要求解第三行的值则需要用到最开始提到的几个需要满足的条件：

1. **面上的点保持不变，即挤压前后Z坐标值\(z=m=n\),即有

\[M_{p e r s p \rightarrow o r t h o}^{(4 \times 4)}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n x \\ n y \\ zm \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n x \\ n y \\ n^2 \\ n \end{array}\right)\]

进一步求解可得：

\[\begin{aligned} &A x+B y+C z+D=m z\\ &\stackrel{m=z=n}{\longrightarrow} A x+B y+C n+D=n^{2} \\ &\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=B=0 \\ C n+D=n^{2} \end{array}\right. \end{aligned}\]

此时仍然求解不出来，所以我们还需要用到前面的条件

2. 远*面的点的Z坐标保持不变，即\(z=m=f\),同理可求得等式：

\[\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} A=B=0 \\ C f+D=f^{2} \end{array}\right. \end{aligned} \]

现在只需要求解方程组即可，

\[\left\{\begin{array}{l} C n+D=n^{2} \\ C f+D=f^{2} \end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l} C=n+f \\ D=-n f \end{array}\right.\right.\]

至此我们就完成了第一步骤求解出了挤压矩阵，

\[M_{p e r s p \rightarrow o r t h o}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\]

通过上面的挤压矩阵，我们把原来的frustum挤压成了一长方体，那么很自然地第二步骤其实就是使用正交投影即可，而正交投影矩阵前面已经介绍了，所以最终的透视投影矩阵求解公式如下：

\[M_{p e r s p}=M_{o r t h o} M_{p e r s p \rightarrow o r t h o} \]

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