MIT线程代数课程精细笔记

2021-04-26 07:05:05 阅读：151 来源： 互联网

第一步：解方程

学习线程代数的有关知识，从解方程谈起，学习线性数的应用之一就是求解复杂方程问题，从行图像和列图的角度解方程

第二步：方程组的几何解释基础

$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ -x+2y=3 & & \end{matrix}\right.$

我们首先按行将方程为矩阵形式

$\begin{bmatrix} 2 & & -1\\ -1 & & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}$

系数矩阵未知向量向量

系数矩阵（A）:将方程系统按行提取出来，按列构成一个向量

向量（b）:将等号右侧结按列

按下来，我们们通过行图像求解这个方程

所谓行图像，就是在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图，和我们初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。

画图，得出相交的点

第三步：二维的列图像

从列图像解度，我们再求解这个方程

$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ -x+2y=3 & & \end{matrix}\right.$

这一次我们求解过程中，我们将方程按列提取，使用的矩阵为：

$x\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$

如上我们使用列向量构成系数矩阵，将问题化为向量 $\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}$ 与两只量 $\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix}$ 正确组合，使用构成 $\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$

接下来来我们使用列图像求解此方程

即寻找合适的x,y使用x倍（2，-1）+ y倍的（-1，2）得到最终的向量（0，3）。很明显能看出来，1部（2，-1）+2倍（-1，2）即满足条件

反映在图像上，明显结果正确

我们再想一想，仅仅对于 $x\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$ 这个方程，如果我们任意取x和y，那么我们得到的是什么呢，能得到任意方向的向量，这些向量布满整个平台，

第四步方程组的几何解释推广

高维行图像

我们将方程维度推广，从三维开始 $\left\{\begin{matrix} 2x-7=0 & & \\ -x+2y-z=-1& & \\ -3y+4z=4 & & \end{matrix}\right.$ ,如果我们继续我们使用做行图像求解，那么得到一个很复杂的图像。

矩阵如下：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1&2 &-1 \\ 0&3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & \\ y& \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & \\ -1& \\ 4 \end{bmatrix}$

左侧是线性组合，右侧是合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，寻找线性组合成为了解题关键

很明显这道题是一个特例，我们只需要取x=0,y=0,z=1，就得到了结果，这在行图像之中并不明显

那么我们 2 −1 1 0 −3 4 −3 就重新寻找一个线性组合就够了，但是如果我们使用的是行图像呢？那意味着我们要完全重画三个平面图像，就简便性来讲，两种方法高下立判。

另外，还要注意的一点是对任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 这个矩阵方程呢？也就是对 3*3 的系数矩阵 A，其列的线性组合是不是都可以覆盖整个三维空间呢？

对于我们举的这个例子来说，一定可以，还有我们上面 2*2 的那个例子，也可以覆盖整个平面，但是有一些矩阵就是不行的。

比如三个列向量本身就构成了一个平面，那么这样的三个向量组合成的向量只能活动在这个平面上，肯定无法覆盖 2 −1 1 一个三维空间，

标签：方程,求解,矩阵,我们,线程,图像,代数,MIT,向量
来源： https://blog.51cto.com/u_13887992/2733626

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

MIT线程代数课程精细笔记

第一步：解方程

第二步：方程组的几何解释基础

第三步：二维的列图像

第四步方程组的几何解释推广