标签：函数 04 23 变换 级数 2021 信号 傅里叶 周期

有了《傅里叶光学（一）》的基础之后，本节开始正式引入“傅里叶变换”这个概念。

傅里叶变换

1. 周期信号及其傅里叶级数

假设一个函数的周期为

，即对于任意

，有

 

这个函数可能是简单的正弦信号，或者是任意的复杂信号，只要在间隔为

的周期中有有限的最大值和最小值。我们自定义一个周期为

的函数，频率

 

，那么函数可以写成

 

对于一个正弦曲线来说，周期为

，但考虑到

的存在，第

个正弦曲线的频率为

，周期为

。由于

是整数，所以在一个大的周期间隔

中，会有

个小周期。正负频率

是这个信号的基波频率，

是这个信号的

次谐波频率。

系数矩阵

表示了不同谐波对整个信号的贡献程度，系数矩阵

可以这样计算：

 

这是将傅里叶级数写成了复指数形式，这种形式在使用时最为方便。若是函数的值为实数，那么可以写成sin和cos的形式取而代之：

 

举个例子，定义一个周期性的方波函数：

 

该函数

，

，带入到

的计算公式中：

 

从该表达式的结果来看，这个方波仅由偶次谐波组成。并且随着n的值的增大，谐波叠加后的图形会无限逼近于原始方波。但是无论n的值有多大，在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲，n越大，过冲的最大值越靠近不连续点，但其峰值并不下降，而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%，且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式，这便是吉布斯现象。

 

n次谐波合成方波(图片来源维基百科)

2. 傅里叶积分

傅里叶级数适用于连续的、周期性的函数。但是，大多数真实的物理函数不是周期性的，对于非周期性的函数仍然需要一种类似的分析方法。假设“周期”

，当周期趋于无穷时，基波频率

，那么傅里叶级数就变成了傅里叶积分

。

定义傅里叶变换

 

以及傅里叶逆变换

 

当函数

 

对其进行傅里叶变换，我们看看会得到什么结果。

 

这个函数正是

函数的形式！那么也就是说，当函数为

时，傅里叶变换为

。这是一个很重要的结论，在接下来的章节中会继续深入学习。

3. 周期信号的傅里叶积分

回顾刚才两种信号处理的方法，将傅里叶级数与傅里叶变换相结合，假设任意一个周期为

的函数，既然是周期函数，那么可以写成傅里叶级数的形式：

 

 

当

是信号的基波频率，将上式傅里叶级数带入到傅里叶变换的公式中，得到表达式：

 

即周期信号的傅里叶变换可以由一系列不同权重的

函数组成。

• 举例——正弦和余弦函数

 

 

 

 

傅里叶变换分别为：

 

 

 

 

周期信号正弦、余弦函数的傅里叶变换可以由不同权重的

函数表示。对于更复杂的周期函数来说，其傅里叶变换会由更多更复杂的

函数表示。

• 振幅和相位谱

空间中关于

的函数，经过傅里叶变换后变成了频域中关于

的函数。振幅谱

和相位谱

能够展现出原始信号

的有效信息。比如3.1中，

和

有相同的振幅

，但是角度不同

。在接下来的章节会继续学习他们的特性。

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来源： https://blog.csdn.net/cpongo1/article/details/116064668

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