标签：分数 frac 19 1120 45 枚举 int depth ACWing
题目地址：
https://www.acwing.com/problem/content/1122/
在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 1 a \frac{1}{a} a1的， a a a是自然数）表示一切有理数。如： 2 3 = 1 2 + 1 6 \frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6} 32=21+61，但不允许 2 3 = 1 3 + 1 3 \frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} 32=31+31，因为加数中有相同的。对于一个分数 a b \frac{a}{b} ba，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如： 19 45 = 1 3 + 1 12 + 1 180 19 45 = 1 3 + 1 15 + 1 45 19 45 = 1 3 + 1 18 + 1 30 19 45 = 1 4 + 1 6 + 1 180 19 45 = 1 5 + 1 6 + 1 18 \frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{180}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{30}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{180}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18} 4519=31+121+18014519=31+151+4514519=31+181+3014519=41+61+18014519=51+61+181最好的是最后一种，因为 1 18 \frac{1}{18} 181比 1 180 \frac{1}{180} 1801， 1 45 \frac{1}{45} 451， 1 30 \frac{1}{30} 301， 1 180 \frac{1}{180} 1801都大。注意，可能有多个最优解。如： 59 211 = 1 4 + 1 36 + 1 633 + 1 3798 59 211 = 1 6 + 1 9 + 1 633 + 1 3798 \frac{59}{211}=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}\\ \frac{59}{211}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798} 21159=41+361+6331+3798121159=61+91+6331+37981由于方法一与方法二中，最小的分数相同，因此二者均是最优解。给出 a , b a,b a,b，编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数 ≥ 1 1 0 7 ≥\frac{1}{10^7} ≥1071。
输入格式：
一行两个整数，分别为
a
a
a和
b
b
b的值。
输出格式：
输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。
数据范围：
0
<
a
<
b
<
1000
0<a<b<1000
0<a<b<1000
思路是迭代加深。其实就是直接枚举每个单位分数的分母，找到最优答案即可。在分解 a b \frac{a}{b} ba的时候，如果不限制深度，容易走到非常深的位置还不一定能找到最优解，所以最好的办法还是迭代加深。对于DFS每一层，设当前深度是 d d d，就枚举第 d d d个数的分母可以取哪些数。我们可以逐层按照分母从小到大枚举，这样第 d d d个数的分母首先要严格大于上一层枚举的分母。其次，设当前层还需要凑出的分数是 a b \frac{a}{b} ba，先对其约分，如果 a = 1 a=1 a=1了，那么就找到了一个解，查看其是否更优（即其最大分母是不是小于之前找到的解的最大分母），如果更优则覆盖之前的解（当然如果之前没找到解，那么当前解直接覆盖）；否则开始枚举一个分数，设当前枚举的数是 1 x \frac{1}{x} x1，首先有 1 x < a b \frac{1}{x}<\frac{a}{b} x1<ba，所以有 x > b a x>\frac{b}{a} x>ab，由于 a ≠ 1 a\ne 1 a=1，所以其等价于 x ≥ ⌊ b a ⌋ + 1 x\ge \lfloor \frac{b}{a}\rfloor + 1 x≥⌊ab⌋+1；此外，由于是按照分母从小到大枚举的，设当前DFS设定的最大深度是 D D D，那么还需要枚举 D − d + 1 D-d+1 D−d+1个数（包括本层枚举的数），所以有 ( D − d + 1 ) 1 x > a b (D-d+1)\frac{1}{x}>\frac{a}{b} (D−d+1)x1>ba，即 x ≤ ⌊ b a ( D − d + 1 ) ⌋ x\le\lfloor\frac{b}{a}(D-d+1)\rfloor x≤⌊ab(D−d+1)⌋。所以只需枚举这个范围内的数即可。代码如下：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int res[N], tmp[N];
long gcd(long a, long b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
bool dfs(int u, long a, long b, int depth, int max_depth) {
if (depth == max_depth) {
if (a == 1) {
// 如果分母大于了10^7，则与题目给出的数据范围不符，直接返回false
if (b > 1e7) return false;
tmp[depth - 1] = (int) b;
if (!res[depth - 1] || b < res[depth - 1]) {
memcpy(res, tmp, depth * (sizeof(int)));
}
return true;
}
return false;
}
bool found = false;
// 枚举当前层的分数的分母
for (int i = max(u, (int) (b / a) + 1); i <= b / a * (max_depth - depth + 1); i++) {
// 用long以防溢出
long nx = a * i - b, ny = b * i;
// 做约分
long g = gcd(nx, ny);
nx /= g, ny /= g;
// 存储一下当前选择
tmp[depth - 1] = i;
if (dfs(u + 1, nx, ny, depth + 1, max_depth)) found = true;
}
return found;
}
int main() {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
int g = (int) gcd(a, b);
a /= g, b /= g;
int max_depth = 1;
while (!dfs(2, a, b, 1, max_depth))
max_depth++;
for (int i = 0; i < max_depth; i++)
printf("%d ", res[i]);
printf("\n");
return 0;
}
时间复杂度指数级，空间取决于具体输入的搜索深度。
标签：分数,frac,19,1120,45,枚举,int,depth,ACWing 来源： https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/115829751
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