标签：10 cnt le 省选 题解 sum 张卡牌 枚举 2021

Day1

数对

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你求出有多少个数对 \((i, j)\) 满足 \(1 \le i \le n\)，\(1 \le j \le n\)，\(i \ne j\) 且 \(a_i\) 是 \(a_j\) 的倍数。

\(2 \le n \le 2\times 10^5\)，\(1 \le a_i \le 5 \times 10^5\)。

考虑使用桶，记 \(cnt_x\) 表示 \(a_i = x\) 的个数。

那么分两种情况讨论，第一种情况是 \(a_i = a_j = x\)，对答案的贡献为 \(\sum \binom{cnt_x}{2}\)；第二种是 \(a_i = x < a_j = y\)，那么这时候枚举 \(a_i\) 的值 \(x\)，同时枚举 \(x\) 的倍数 \(y\)，对答案的贡献为 \(\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} cnt_x cnt_y\)。

时间复杂度是经典的调和级数 \(O(\frac{n}{1} + \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \cdots) = O(n \ln n)\)。

卡牌游戏

有 \(n\) 张卡牌，第 \(i\) 张卡牌的正面有数字 \(a_i\)，背面有数字 \(b_i\)，初始时所有卡牌正面朝上。

现在可以将不超过 \(m\) 张卡牌翻面，最小化朝上的 \(n\) 个数字的极差。

\(3 \le n \le 10^6\)，\(1 \le m < n\)，\(1 \le a_i, b_i \le 10^9\)，\(a_i\) 单调不下降，\(2n\) 个数字互不相同。

先把 \(a, b\) 拼成一个长度为 \(2n\) 的数组 \(c\) 排序。

对于这个有序的数组，极差即是选中的那一段 \(l, r\) 的 \(c_r-c_l\)。

于是用双指针枚举 \(l, r\)，不在 \(l, r\) 当中则意味着那一位被删除，具体要求是：

• 删掉的 \(a\) 面不超过 \(m\)；
• 不存在同一张卡牌的 \(a, b\) 面同时被删除。

对于第一条开一个 \(cnt\) 维护，第二条开一个 \(vis\) 数组维护即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)，不明白 \(a\) 有序有什么意义。

图函数

对于一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图 \(G\)，定义函数 \(f(u, G)\)：

• 初始化返回值 \(cnt = 0\)，图 \(G' = G\)。
• 从 \(1\) 至 \(n\) 按顺序枚举顶点 \(v\)，如果当前的图 \(G'\) 中，从 \(u\) 到 \(v\) 与从 \(v\) 到 \(u\) 的路径都存在，则将 \(cnt + 1\)，并在图 \(G'\) 中删去顶点 \(v\) 以及与它相关的边。
• 第 \(2\) 步结束后，返回值 \(cnt\) 即为函数值。

现在给定一张有向图 \(G\)，请你求出 \(h(G) = f(1, G) + f(2, G) + \cdots + f(n, G)\) 的值。

更进一步地，记删除（按输入顺序给出的）第 \(1\) 到 \(i\) 条边后的图为 \(G_i\)，请你求出所有 \(h(G_i)\) 的值。

\(2 \le n \le 10^3\)，\(1 \le m \le 2 \times 10^5\)，\(1 \le x_i, y_i \le n\)，没有重边和自环。

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来源： https://www.cnblogs.com/syksykCCC/p/14655838.html

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