标签：mathbb do Effect Direct xz Effects Indirect NIE
目录概
CDE: Controlled Direct Effect;
NDE: Natural Direct Effect;
NIE: Natural Indirect Effect.
TDE: Total Direct Effect;
TIE: Total Indirect Effect;
PDE: Pure Direct Effect;
PIE: Pure Indirect Effect.
主要内容
graph LR X(X) -->Z(Z) --> Y(Y) X --> Y设想, 药物\(X\)的影响通过俩种途径:
- 直接对身体产生的影响;
- 服用药物\(X\)会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.
如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的\(X \rightarrow Y\)这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?
CDE
average CDE的计算是:
\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)], \]之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定\(Z=z\).
用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为\(z\).
NDE
average NDE的计算是:
\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)], \]相当于, 一个人服用了药物\(x\), 但是我们骗他说服用了药物\(x^*\), 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物\(x^*\)后的量.
不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:
需要满足:
\[Y_{xz} \amalg Z_{x^*} | W, \]这里\(W\)是confounder.
此时:
NIE
有些时候我们想要的是支线\(X \rightarrow Z \rightarrow Y\), 此时我们需要计算NIE:
average NIE的计算是
\[\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)]. \]类似的解释.
满足
\[Y_{x^*, z} \amalg Z_x | W, \]可以得到
\[NIE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}\mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w). \]TDE, TIE, PDE, PIE
可以发现:
\[\begin{array}{rl} \mathbb{E}[Y_{x}] - \mathbb{E}[Y_{x^*}] &=\mathbb{E}[Y_{xz}] -\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}] \\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz}]-\mathbb{E}[Y_{xz^*}])}_{TIE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz^*}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PDE}\\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z}]])}_{TDE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{x^*z}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PIE}. \end{array} \]标签：mathbb,do,Effect,Direct,xz,Effects,Indirect,NIE 来源： https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/14615052.html
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