标签：frac 函数 sum 2x 笔记 学习 斜率 微分 ax
前言：
这是一个蒟蒻yy出来的笔记，大佬们就别踩这个蒟蒻了...
前置芝士：
- 直线斜率计算公式：\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\)
引入
如图，这是\(f(x)=x^2\)的图像，现在该图上有一点\(A(1, 1)\)，求过该点的切线表达式。
令另一在该函数上的点\(B(x+h,f(x+h))\)，当\(B\)愈来愈趋近于\(A\)，即：\(\lim_{h \to 0}\)，过点\(A\)、\(B\)的直线斜率\(k= {\Large\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}}\)
代入并进行化简得：\(\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h\)，当h趋近于0，斜率\(k=2x\)，即过\(A\)点的切线的斜率为\(2\)，\(\therefore\)该直线的表达式为\(y=2x-1\)。
推广：对于函数\(f(x)=x^2\)图像任意一点\((x,f(x))\)过改点的切线斜率为\(2x\)。
定义：对于任意函数\(y=f(x)\)，其任意一点的斜率遵循同一函数\(B\)，我们称函数\(B\)为函数\(f(x)\)的导数，记作\(y^{'}\)或\(f^{'}(x)\)。
定理：对于任意幂函数\(f(x)=x^a\)，其导数\(f^{'}(x)=ax^{a-1}\)。
证明：仍设点\(A(x, f(x))\)，\(B(x+h, f(x+h))\)。
当\(B\)无限接近\(A\)，直线\(AB\)的斜率为：
\({\large k=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^a-x^a}{h}}\)
根据二项式定理
\((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^k\)，可得
\({\large k=\frac{\sum_{k=0}^{a} C_a^ka^{a-k}h^k-x^a}{h}}\)
将\(\sum\)中的第一项以及最后两项拆出，即
\[{\large k=\frac{x^a+\sum_{k=1}^{a-2}C_{a}^{k}x^{a-k}h^k+ax^{a-1}h+h^a-x^a}{h}=\frac{\sum_{k=1}^{a-2}C_{a}^{k}x^{a-k}h^k+h^a}{h}}+ax^{a-1} \]当 \(h\) 无限趋近于 \(0\) 时，左边分子的每一项都至少有 \(1\) 个h，那么整个分子的和均为 \(0\) ，最终得到 \(k=ax^{a-1}\) 。证毕
最后，我们就得到了一下结论：
对于任意的幂函数\(\mathit{{\color{Green} f(x)=x^a}}\)，其导数\(\mathit{{\color{Green} f^{'}(x)=ax^{a-1}}}\)。
标签：frac,函数,sum,2x,笔记,学习,斜率,微分,ax 来源： https://www.cnblogs.com/sizeof127/p/14614520.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。