标签：Numbers int lim ll CF449D Jzzhu FWT MOD mathrm
题目
题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/449/D
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求有多少种方案从 \(\{a_i\}\) 里面选出一个非空子集使这些数按位与起来为 \(0\)。
\(n,a_i\leq 10^6\)。
思路
我们可以把选择第 \(i\) 个数看做 and 上 \(a_i\)，不选择第 \(i\) 个数看做 and 上 \(\mathrm{lim}=1048575\)。
可以看做 \(n\) 个多项式进行 FWT，其中第 \(i\) 个多项式只有 \(a_i\) 和 \(\mathrm{lim}\) 两位为 \(1\)，其余均为 \(0\)。
直接做 \(n\) 次 FWT 显然无法保证复杂度，考虑如何利用最多只有两位为 \(1\) 的性质。
因为只有两位为 \(1\)，所以 \(FWT(A_i)_j=\sum^{\mathrm{lim}}_{k=0}c(j,k)[a_i=k]+c(j,\mathrm{lim})=c(j,a_i)+c(j,\mathrm{lim})\)。
因为 and 卷积等价于 \(FWT(A)_i=\sum_{i\in j}\mathrm{val_j}\)，而 \(\mathrm{lim}\) 包含 \(1\sim lim\) 所有整数，所以
我们只需要考虑第 \(j\) 项被多少 \(a_i\) 包含，因为只有这些 \(a_i\) 的贡献是 \(2\)，其余均为 \(1\)。然后快速幂计算即可。
那么直接上 and FWT 就好了。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1050010,MOD=1000000007;
const int C[2][2][2]={{{1,1},{0,1}},{{1,MOD-1},{0,1}}};
int n,lim;
ll f[N];
ll fpow(ll x,ll k)
{
ll ans=1;
for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
if (k&1) ans=ans*x%MOD;
return ans;
}
void FWT(ll *f,int typ)
{
for (int k=1;k<lim;k<<=1)
for (int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
for (int j=0;j<k;j++)
{
ll x=f[i+j],y=f[i+j+k];
f[i+j]=(x*C[typ][0][0]+y*C[typ][0][1])%MOD;
f[i+j+k]=(x*C[typ][1][0]+y*C[typ][1][1])%MOD;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1,x;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
f[x]++;
}
lim=1048576;
FWT(f,0);
for (int i=0;i<lim;i++)
f[i]=fpow(2,f[i]);
FWT(f,1);
printf("%lld",(f[0]%MOD+MOD)%MOD);
return 0;
}
标签：Numbers,int,lim,ll,CF449D,Jzzhu,FWT,MOD,mathrm 来源： https://www.cnblogs.com/stoorz/p/14304491.html
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