标签:那么 CF1228E times 随便 Filling Grid 答案 binom sum
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Solution
不知道怎么就想到了……用 \(G(x,y)\) 表示恰好有 \(x\) 和 \(y\) 行没有 \(1\),那么答案就是 \(G(0,0)\)
用 \(F(x,y)\) 表示强制有 \(x\) 行 \(y\) 列没有 \(1\) ,剩下的随便填的可重方案,那么
\[F(x,y)=\binom{n}{x}\binom{n}{y}k^{(n-x)(n-y)}\times k^{n^2-(n-x)(n-y)} \]组合意义为先选 \(x\) 行 \(y\) 列没有 \(1\) ,对于这选了的部分,除去不能选 \(1\),那么共有 \((k-1)^{n^2-(n-x)(n-y)}\) 种,对于没有选的,可以随便填数。
容易发现
\[F(x,y)=\sum_{i=x}^n \sum_{j=y}^n \binom{i}{x}\binom{j}{y}G(i,j) \]反演一下,得到
\[G(x,y)=\sum_{i=x}^n \sum_{j=y}^n (-1)^{i+j-x-y} \binom{i}{x}\binom{j}{y} F(i,j) \]代入 \(x=0,y=0\) ,答案即为
\[\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (-1)^{i+j} \binom{n}{i}\binom{n}{j} k^{(n-i)(n-j)}\times k^{n^2-(n-i)(n-j)} \]\(O(n^2\log n)\) 暴力求解即可。
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