高数基础_第3节_导数
导数
导数的概念
- 导数的定义
- 导数举例：
- 边际税率：税收对于收入的变化率
导数计算的方法
定义法求导
四则运算求导
反函数求导
- 把导数看作 dy / dx ，更好理解反函数求导的公式
- 举例
复合函数求导----链式法则（Chain rule）
d
y
d
x
=
d
y
d
u
∗
d
u
d
x
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}
dxdy=dudy∗dxdu
由此可以很轻松的再次证明反函数求导的公式
y
=
f
(
x
)
,
f
−
1
(
y
)
=
x
f
−
1
(
y
)
=
f
−
1
∗
f
(
x
)
=
x
y = f(x), f^{-1}(y) = x\\ f^{-1}(y) = f^{-1}*f(x) = x\\
y=f(x),f−1(y)=xf−1(y)=f−1∗f(x)=x
两边同时求导，得到
d
f
−
1
(
y
)
d
y
∗
d
f
(
x
)
d
x
=
1
d
f
−
1
(
y
)
d
y
=
1
f
′
(
x
)
\frac{df^{-1}(y)}{dy}*\frac{df(x)}{dx} = 1\\ \frac{df^{-1}(y)}{dy} = \frac{1}{f'(x)}
dydf−1(y)∗dxdf(x)=1dydf−1(y)=f′(x)1
隐函数求导
- 把 y 看作 y(x)，一个关于x的函数
- 例如：对以下表达式求导
x 2 + y 2 = 1 2 x + 2 y ∗ y ′ = 0 y ′ = − x y x^2 + y^2 = 1\\ 2x + 2y *y' = 0\\ y' = -\frac{x}{y} x2+y2=12x+2y∗y′=0y′=−yx - 如果指数太多，就取对数，解导数
参数式函数求导
- 求图像切线
极坐标式函数求导
不定式求导----洛必达法则
- 不定式：得到结果为如下任一
若分数上下求导之后，有一个极限值，是收敛的， 则可以用L'Hopital Rule。每一步都要验证。 - 0 / 0 型不定式
- 无穷 / 无穷不定式
说 明 ln x < x ϵ ， ln x 比 任 何 x 的 指 数 函 数 都 要 增 长 的 慢 。 说明 \ln{x} < x^{\epsilon}，\ln{x}比任何x的指数函数都要增长的慢。 说明lnx<xϵ，lnx比任何x的指数函数都要增长的慢。
初等函数微商表
标签：frac,函数,导数,基础,dy,求导,高数,不定式 来源： https://blog.csdn.net/weixin_52137329/article/details/112319044
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