标签：frac 均衡化 数字图像处理 直方图 灰度 dr ds
直方图均衡化理解
直方图均衡化引入
如图，在第1，2，3张图中，当灰度值集中在某一块区域时，图像比较平淡即对比度低。而第4张图中，灰度值覆盖比较宽的范围，而且比较均匀的分布，其对比度高，细节丰富。将图像的灰度值进行函数变换偏向于均匀分布，大概率会提高图像的对比度和细节性。下图就是变换函数的目标。
怎么实现直方图均衡化
将分布在0-255之间的灰度值的个数类比为概率论中的概率密度相关内容进行计算。并且先考虑连续的灰度值方式进行计算，然后再推导离散的情况。
几个基础概念名词
链接: 如何通俗的理解概率密度.
概率：事件随机发生的几率
概率密度：落在某点的概率
累积概率密度：某些点的概率累积
现在开始推导公式啦：
上述第二张图中，已知原来的概率密度函数为
f
(
r
)
f(r)
f(r)，累计概率密度函数为
F
r
(
R
)
=
P
{
R
⩽
r
}
=
∫
0
R
f
(
r
)
d
r
,
R
∈
(
0
,
L
−
1
)
F_{r}(R) =P\left \{ R\leqslant r \right \} = \int_{0 }^R{f(r)dr}, R\in(0,L-1)
Fr(R)=P{R⩽r}=∫0Rf(r)dr,R∈(0,L−1) 且
F
r
′
(
R
)
=
f
(
r
)
F_{r}^{'}(R) = f(r)
Fr′(R)=f(r)变换函数为
s
=
T
(
r
)
即
r
=
T
−
1
(
s
)
s = T(r) 即 r = T^{-1}(s)
s=T(r)即r=T−1(s)变换后的概率密度
f
(
s
)
=
1
L
−
1
f(s) = \frac{1}{L-1}
f(s)=L−11累积概率密度为
F
s
(
S
)
=
P
{
S
⩽
s
}
=
∫
0
S
f
(
s
)
d
s
=
S
L
−
1
,
S
∈
(
0
,
L
−
1
)
F_{s}(S) =P\left \{S\leqslant s \right \} = \int_{0 }^S{f(s)ds}= \frac{S}{L-1} , S\in(0,L-1)
Fs(S)=P{S⩽s}=∫0Sf(s)ds=L−1S,S∈(0,L−1)且
F
s
′
(
S
)
=
f
(
s
)
F_{s}^{'}(S) = f(s)
Fs′(S)=f(s)推导：
F
s
(
S
)
=
P
{
S
⩽
s
}
=
P
{
T
(
r
)
⩽
s
}
=
P
{
r
⩽
T
−
1
(
s
)
}
=
F
r
(
T
−
1
(
s
)
)
F_{s}(S) =P\left \{S\leqslant s \right \} =P\left \{T(r)\leqslant s \right \} = P\left \{r\leqslant T^{-1}(s) \right \} = F_{r}(T^{-1}(s) )
Fs(S)=P{S⩽s}=P{T(r)⩽s}=P{r⩽T−1(s)}=Fr(T−1(s)) 即
F
s
′
(
S
)
=
f
(
s
)
=
F
r
′
(
T
−
1
(
s
)
)
=
d
(
F
r
(
T
−
1
(
s
)
)
)
d
s
=
f
(
T
−
1
(
s
)
)
d
(
T
−
1
(
s
)
)
d
s
F_{s}^{'}(S) =f(s)= F_{r}^{'}(T^{-1}(s)) = \frac{d(F_{r}(T^{-1}(s)))}{ds} = f(T^{-1}(s)) \frac{d(T^{-1}(s))}{ds}
Fs′(S)=f(s)=Fr′(T−1(s))=dsd(Fr(T−1(s)))=f(T−1(s))dsd(T−1(s)) 有
r
=
T
−
1
(
s
)
r = T^{-1}(s)
r=T−1(s)则
f
(
s
)
=
f
(
r
)
d
r
d
s
=
1
L
−
1
f(s)= f(r) \frac{dr}{ds} = \frac{1}{L-1}
f(s)=f(r)dsdr=L−11有
d
s
=
(
L
−
1
)
f
(
r
)
d
r
ds= (L-1)f(r)dr
ds=(L−1)f(r)dr对两边做积分有
s
=
T
(
r
)
=
∫
0
r
(
L
−
1
)
f
(
r
)
d
r
=
(
L
−
1
)
∫
0
r
f
(
r
)
d
r
s= T(r) = \int_{0 }^{r}(L-1)f(r)dr = (L-1)\int_{0}^{r}f(r)dr
s=T(r)=∫0r(L−1)f(r)dr=(L−1)∫0rf(r)dr
对应到离散灰度值上有
一幅图像中灰度级为
r
k
r_{k}
rk的概率为
P
r
=
n
k
M
N
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
L
−
1
P_{r}= \frac{n_{k}}{MN}, k = 0, 1, 2, \cdots , L-1
Pr=MNnk,k=0,1,2,⋯,L−1 其中MN为图像的总像素数，
n
k
n_{k}
nk为灰度值为
r
r
r_{r}
rr的像素数。
离散的公式为：
s
k
=
T
(
r
k
)
=
(
L
−
1
)
∑
k
j
=
0
P
r
(
r
j
)
=
L
−
1
M
N
∑
k
j
=
0
n
j
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
L
−
1
s_{k} =T(r_{k}) = (L-1)\sum_{k}^{j = 0}P_{r}(r_{j}) = \frac{L-1}{MN}\sum_{k}^{j = 0}n_{j},k = 0, 1, 2, \cdots , L-1
sk=T(rk)=(L−1)k∑j=0Pr(rj)=MNL−1k∑j=0nj,k=0,1,2,⋯,L−1以上为推导内容，如果错误还请指正。
具体的参考例子可以看看
链接: 具体的直方图均衡化实现.
标签：frac,均衡化,数字图像处理,直方图,灰度,dr,ds 来源： https://blog.csdn.net/chenbbaishun/article/details/111997559
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。