[luogu4331]数字序列

2020-12-23 19:04:03 阅读：175 来源： 互联网

标签：le 数字 min int sum 斜率绝对值 luogu4331 序列

令$a'_{i}=a_{i}+n-i$、$b'_{i}=b_{i}+n-i$，代价仍然是$\sum_{i=1}^{n}|a'_{i}-b'_{i}|$，但条件变为了$b'_{i}\le b'_{i+1}$，即不下降（以下为了方便，$a'_{i}$和$b'_{i}$仍然用$a_{i}$和$b_{i}$表示，原来的不需要考虑）

考虑暴力dp，令$f_{i,j}$表示前$i$个数且$b_{i}=j$的最小的代价，转移时先令$f_{i-1,j}=\min_{k\le j}f_{i-1,k}$，再加上绝对值，即$f_{i,j}=f_{i-1,j}+|a_{i}-j|$

由于过程是交替进行的，可以看作先加上绝对值再取min（体现在定义上就是$f_{i,j}$表示前$i$个数且$b_{i}\le j$的最小的代价），细节上由于第1次全部都是0本身就不需要取min，然后最后答案即为$f_{n,\infty}$

归纳$f_{i}$具有以下性质：其斜率单调不递增且小于等于0（即下凸但没有上升的部分）

在这一条件下，对于取绝对值再取min的过程，可以看作：对于$a_{i}$左半部分相当于斜率增加1，对于$a_{i}$右半部分斜率减少1，特别的，由于要取min，因此对于斜率为0的部分仍然不变

（做法上有一点类似[AGC049E](https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/14015313.html)）

定义$f'_{i,j}=f_{i,j}-f_{i,j-1}$（$j\ge 1$），特别的$f'_{i,0}=\sum_{j=1}^{i}a_{i}$，那么$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j}f'_{i,k}$（其实后面两点不重要，因为求答案肯定通过构造出来的方案求更方便QAQ）

然后对于$f'_{i,j}$（$1\le j\le a_{i}$）区间减1，对于$f'_{i,j}$（$a_{i}<j$且$f'_{i,j}<0$）区间加1，直接用线段树维护即可

关于最优解的构造：先有$b_{n}=\min_{f'_{n,k}=0}k$，然后再令$b_{i}=\min(b_{i+1},\min_{f'_{i,k}=0}k-1)$即可（很明显$b_{i+1}$之前$f_{i,j}$最小的位置就是这里，同时这里的$f_{i,j}$不会是跟$f_{i,j-1}$取min的结果）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 1000005
 4 #define L (k<<1)
 5 #define R (L+1)
 6 #define mid (l+r>>1) 
 7 map<int,int>mat;
 8 map<int,int>::iterator it;
 9 int n,m,a[N],b[N],val[N],f[N<<2],tag[N<<2];
10 long long ans;
11 char ch[21];
12 int read(){
13     int x=0;
14     char c=getchar();
15     while ((c<'0')||(c>'9'))c=getchar();
16     while (('0'<=c)&&(c<='9')){
17         x=x*10+c-'0';
18         c=getchar();
19     }
20     return x;
21 }
22 void write(int k){
23     int s=0;
24     while (k){
25         ch[++s]=k%10+'0';
26         k/=10;
27     }
28     while (s)putchar(ch[s--]);
29     putchar(' ');
30 }
31 void upd(int k,int x){
32     tag[k]+=x;
33     f[k]+=x;
34 }
35 void down(int k){
36     upd(L,tag[k]);
37     upd(R,tag[k]);
38     tag[k]=0;
39 }
40 void update(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
41     if ((l>y)||(x>r))return;
42     if ((x<=l)&&(r<=y)){
43         upd(k,z);
44         return;
45     }
46     down(k);
47     update(L,l,mid,x,y,z);
48     update(R,mid+1,r,x,y,z);
49     f[k]=min(f[L],f[R]);
50 }
51 int query(int k,int l,int r){
52     if (l==r)return l;
53     down(k);
54     if (f[R])return query(R,mid+1,r);
55     return query(L,l,mid);
56 }
57 int main(){
58     scanf("%d",&n);
59     for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read()+n-i;
60     memcpy(val,a,sizeof(val));
61     sort(val+1,val+n+1);
62     m=unique(val+1,val+n+1)-val-1;
63     for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(val+1,val+m+1,a[i])-val;
64     for(int i=1;i<=n;i++){
65         update(1,1,m,1,a[i],-1);
66         if (i>1)update(1,1,m,a[i]+1,query(1,1,m),1);
67         b[i]=query(1,1,m);
68     }
69     for(int i=n-1;i;i--)b[i]=min(b[i],b[i+1]);
70     for(int i=1;i<=n;i++)ans+=abs(val[a[i]]-val[b[i]]);
71     printf("%lld\n",ans);
72     for(int i=1;i<=n;i++)write(val[b[i]]-n+i);
73 }

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来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/14180506.html

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