文章目录
- 将矩阵表示成特定类型矩阵的乘积,
- 称矩阵的分解.
- 矩阵的分解理论与方法是
- 矩阵分析理论重要内容,
- 在解线性方程组,
- 求特征值,求广义逆矩阵的实际计算中有着重要的应用价值
4.1 矩阵的LU分解
- 定义4.1
- A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n
- 若 A A A可表示成一个下三角矩阵 L L L与一个上三角矩阵乘积
A=LU
- 则称其为矩阵A的LU分解(三角分解)
- 定理4.1
- A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n,如果 A A A的顺序主子式
- 则存在惟一的主对角线上元素全为 1 1 1的下三角阵 L L L
- 与惟一的上三角矩阵U,使
- A = L U A=LU A=LU
以后再写
- 对线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b
- 设 A = L U A=LU A=LU是其 L U LU LU分解.
- 先求
L
y
=
b
Ly=b
Ly=b
- L是下三角矩阵, y y y可通过依次求出其分量 y 1 , y 2 , ⋯ , y n y_1,y_2,\cdots,y_n y1,y2,⋯,yn求出,
- 再 U x = y Ux=y Ux=y.
- x x x可通过该方程组依次求出分量 x n , x n − 1 , … x 2 , x 1 x_n,x_{n-1},…x_2,x_1 xn,xn−1,…x2,x1快速得出
- n n n阶矩阵A满足定理4.1时,
- 可用初等变换的方法求出 L L L和 U U U
- 当 A = L U A=LU A=LU时, L L L可逆,故必存在可逆阵 P P P
- P L = I PL=I PL=I
- P A = P L U = U PA=PLU=U PA=PLU=U
- 可先对 A A A行初等变换得出上三角阵 U U U,
- 而 P P P可通过对单位阵进行相同的行初等变换得出.
- 即有
P ( A , I ) = ( P A , P I ) = ( U , P ) P(A, I)=(PA, PI)=(U, P) P(A,I)=(PA,PI)=(U,P)
- 于是 A = P − 1 U A=P^{-1}U A=P−1U,为保持 P P P为下三角(从而 P − 1 P^{-1} P−1也下三角),
- 行初等变换时,
- 不能行对换,
- 上行的倍数应加到下行的对应元
- 例1
- 因爲
标签：初等变换,4.1,三角,矩阵,LU,分解,矩陣 来源： https://blog.csdn.net/zhoutianzi12/article/details/111358042
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