4.6 广义不等式约束
- 锥形式问题
- 半定规划
- 例子
广义不等式约束
将不等式约束函数扩展为向量,并使用广义不等式,得到:
其中,为正常锥,为凸的。则称此问题为广义不等式意义下的凸优化问题。
结论:
- 可行集、任意下水平集和最优集都是凸的。
- 上述问题的任意局部最优解都是全局最优解。
- 可微函数的最优性条件都成立。
锥形式问题
锥形式问题也称锥规划,有线性目标函数和一个不等式约束函数(仿射函数):
标准形式的锥形式问题:
不等式形式的锥形式问题:
半定规划
当K为,即半正定矩阵锥时,相应的锥形式问题为半定规划(SDP):
其中,且不等式是线性矩阵不等式(LMI)。
如果都是对角阵,那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式,SDP退化为线性规划。
标准形式的半定规划
标准形式的SDP具有对变量的线性等式约束和非负约束:
其中。
不等式形式的半定规划
其优化变量。
多个LMI:
多个LMI和一个LMI是等价的,例如
其约束函数可以写成:
新的约束的矩阵仍然属于
LP 、SOCP、SDP
首先解释为什么当都是对角阵时,那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式,SDP退化为线性规划
当都是对角阵时,取k=2,n=2,此时约束函数:
显然SDP退化为线性规划。
SOCP和等价的SDP
SOCP:
想要得到其等价的SDP,关键在于对其约束函数的转变,即由SOCP的约束函数得到一个矩阵半定约束。
显然矩阵正定有两个约束:(1)(2)由这两个约束可推出SOCP的约束。
例子
最小化矩阵最大的特征值
相当于找到一个最小的t,使得,即
等价于SDP:
矩阵范数极小化
即找到一个最小t,使得
所以其对应的SDP问题为:
来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86659239
标签:4.6,SDP,半定,不等式,矩阵,约束,优化,函数 来源: https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111304518
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