标签：原图 frac 训练 0804 sum 0801 复杂度 prod Challenge
这几天做了几道codechef上的题
白天听冬令营，晚上练2道题
0801
A是 Codechef April Challenge 2018 Chef at the Food Fair
发现是\(p_i*=x\) 但是却要求\((1-p_i)\)的积不太好做
于是看到乘积形式果断取\(ln\)转成维护区间和最后\(exp\)回去
发现\(ln(1-x)=-\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}\)
再发现\(p<=0.9\)
于是只需要维护前\(100\)项即可
时间复杂度是\(O(100nlogn)\)
B是 Codechef July Challenge 2020 Weird Product
发现这个\(x\)的幂次是随下标逐渐\(+1\)果断考虑前缀和
记\(sum_i=\sum_{j=1}^{i}a_j*x^j\)
于是\(w(l,r)=x^{-2*l}*(sum_r-sum_{l-1})\)
于是只需要求\(\prod_{i=1}^n \prod_{j=i}^n -(sum_j-sum_{i-1})*(sum_{i-1}-sum_j)\)
即只需要求\(\prod_{i=0}^n \prod_{j!=i}(sum_i-sum_j)\)
记\(f(x)=\prod_{i=0}^n(x-sum_i)\)
于是对于每一个\(i\)我们就是求\(\frac{f(x)}{x-sum_i}\)在\(x=sum_i\)处的点值
用一下洛必达法则我们发现其实就是求
\(f'(x)\)在\(sum_0\)到\(sum_n\)处的点值
写一个多项式多点求值即可
时间复杂度是\(O(nlog^2n)\)
0802
A是Codechef July Challenge 2020 Expected Repetitions
p是整个串的贡献最后加上去
发现两个前缀\(i\)和\(j(i<j)\)的贡献为\((j-i)*lcs(i,j)\)
于是直接后缀树上线段树合并维护一下答案就好了
类似的有一个SA+CDQ+单调栈的做法
但由于前几天写过类似的题就写的SAM的做法
时间复杂度是\(O(nlogn)\)
B是Codechef July Challenge 2020 Expected Spanning Trees
不难发现可以对每棵生成树分开计算
看到操作序列考虑EGF
不难发现一条在原图中出现的边最后在原图中依然出现的EGF是
\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac {x^{2i}} {i!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
同样的一条不在原图中出现的边最后在原图中出现的EGF是
\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac {x^{2i+1}} {i!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
于是只需要对于\(i\)从\(0\)到\(n-1\)统计一下有\(i\)条边在原图中出现的生成树个数
这个是常见套路变元矩阵树+高斯消元\(O(n^4)\)解决
于是对于所有有\(i\)条边在原图中出现过的生成树他们的贡献是相同的
生成函数是\([\frac{e^x+e^{-x}}{2}]^{i} [\frac{e^x-e^{-x}}{2}]^{n-1-i}\)
类似「ZJOI2019」开关 的做法
我们把它写成\(\sum_{i}a_i*e^{ix}\)的形式
把\(n\)个式子乘上生成树个数合并起来
每次询问对每个\(e^{ix}\)次方快速幂一下算贡献
我们得到了\(O(n^4+nqlogmod)\)的做法
但这样太慢了好像过不了怎么办（其实能过）
光速幂！
时间复杂度降为\(O(n^4+n(\sqrt{mod}+q))\)
0803
标签：原图,frac,训练,0804,sum,0801,复杂度,prod,Challenge 来源： https://www.cnblogs.com/deaf/p/13493120.html
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