首页 > 其他分享> 文章详细

[斜率优化DP] [APIO2014] 序列分割

2020-07-19 10:32:31 阅读：293 来源： 互联网

标签：right leq int sum APIO2014 斜率 MAXN DP left

题目描述

你正在玩一个关于长度为 $n$ 的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成 $k + 1$ 个非空的块。为了得到 $k + 1$ 块，你需要重复下面的操作 $k$ 次：

选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）

选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。

每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$。保证 $k + 1 \leq n$。

第二行包含 $n$ 个非负整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ($0 \leq a_i \leq 10^4$)，表示前文所述的序列。

输出格式

第一行输出你能获得的最大总得分。

第二行输出 $k$ 个介于 $1$ 到 $n - 1$ 之间的整数，表示为了使得总得分最大，你每次操作中分开两个块的位置。第 $i$ 个整数 $s_i$ 表示第 $i$ 次操作将在 $s_i$ 和 $s_{i + 1}$ 之间把块分开。

如果有多种方案使得总得分最大，输出任意一种方案即可。

限制与约定

第一个子任务共 $11$ 分，满足 $1 \leq k < n \leq 10$。

第二个子任务共 $11$ 分，满足 $1 \leq k < n \leq 50$。

第三个子任务共 $11$ 分，满足 $1 \leq k < n \leq 200$。

第四个子任务共 $17$ 分，满足 $2 \leq n \leq 1000, 1 \leq k \leq \min\{n - 1, 200\}$。

第五个子任务共 $21$ 分，满足 $2 \leq n \leq 10000, 1 \leq k \leq \min\{n - 1, 200\}$。

第六个子任务共 $29$ 分，满足 $2 \leq n \leq 100000, 1 \leq k \leq \min\{n - 1, 200\}$。

首先可以通过数学归纳法证明: 只要切割位置相同, 切割顺序不会影响答案.

首先有一个 $拿衣服$ 的想法 ~~直接想到正解的大佬可以跳过~~:

用 $i$ 表示当前的位置, $k$ 表示切割的次数, 枚举之前的每一个状态 $j$.

\[F\left(i, k\right) = \max\left\{F\left(j, k-1\right) + \left[S\left(i\right)-S\left(j\right)\right]\cdot\left[S\left(n\right)-S\left(i\right)\right]\right\}, j \in \left[1, i-1\right] \]

但是由于它太 $拿衣服$ 了, 所以不好处理(实际可做).

反向考虑整个序列, 转移方程变形为:

\[F\left(i, k\right) = \max\left\{F\left(j, k-1\right) + S\left(j\right)\cdot\left[S\left(i\right)-S\left(j\right)\right]\right\}, j \in \left[1, i-1\right] \]

看数据 $1e6$, $O\left(n^2k\right)$ 显然不可做, ~~凭感觉~~考虑斜率优化

设 $F\left(i, k\right) = F(i)$, $F\left(i, k-1\right) = G(i) $ , 进行移项, 有:

\[G\left(j\right) - S^2\left(j\right) = -S\left(i\right)S\left(j\right) + F\left(i\right) \]

斜率 $-S(i)$ 单调递减.

考虑当前决策 $j$ 和前一个决策 $j-1$, 若 $j$ 优于 $j-1$, 有:

\[k = \frac{[G(j)-S^2(j)] - [G(j-1)-S^2(j-1)]}{S(j) - S(j-1)} \gt -S(i) \]

注意 $k$ 是负值.

即:

\[\frac{[G(j)-S^2(j)] - [G(j-1)-S^2(j-1)]}{S(j-1) - S(j)} \le S(i) \]

然后就可以大力斜率优化~~并WA掉~~

注意一个细节: $a_i$ 可能为 $0$, 上式的分母可能为 $0$, 需要在程序中特判一下.

代码:

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <deque>
# define LL long long
# define MAXN 1000005

using namespace std;

LL a[MAXN], sum[MAXN];
LL f[MAXN][2];
int sol[MAXN][205]; // 记录转移顺序
int q[MAXN];

double slope(int i,int j, int g) {
	if(sum[i]==sum[j]) return -1e18;
	return 1.0*((f[i][g]-sum[i]*sum[i])-(f[j][g]-sum[j]*sum[j]))/(sum[j]-sum[i]);
}

int main(){
	int n, S;
	scanf("%d%d", &n, &S);

	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%lld", &a[i]);
		sum[i] = a[i] + sum[i-1];
	}

	for(int k = 0, lim = 1; lim <= S; k^=1, lim++){
		int l = 1, r = 0;
		q[++r] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int g = k^1;
			while(l < r && slope(q[l], q[l+1], g)<=sum[i]){
				l++;
			}
			f[i][k] = f[q[l]][g]+sum[q[l]]*(sum[i]-sum[q[l]]);
			sol[i][lim] = q[l];
			while(l < r && slope(q[r-1],q[r], g)>=slope(q[r],i, g)){
				r--;
			}
			q[++r] = i;
		}
	}

	printf("%lld\n", max(f[n][1], f[n][0]));
	for(int x=n,i=S;i>=1;--i){ 
		x=sol[x][i];
		printf("%d%c",x," \n"[i==1]);
    }
    
	return 0;
}

时间复杂度: $O(nk)$

玄学 $1$: 最开始写的 deque 的时候莫名其妙赤橙黄绿青蓝紫, 改手写单调队列就过了 ~~估计是我哪写错了~~

玄学 $2$: 本来打算移项逃避精度问题的, 结果锅掉 ~~估计就是式子移错了~~

总结: 我太菜了

标签：right,leq,int,sum,APIO2014,斜率,MAXN,DP,left
来源： https://www.cnblogs.com/Foggy-Forest/p/13338894.html