割点和桥

2020-07-10 21:41:32 阅读：421 来源： 互联网

图的割点、桥和双连通分支的基本概念： 点连通度与边连通度在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。 双连通图、割点与桥 如果一个无向连通图的点连通度大于 1，则称该图是点双连通的 (point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为 1，则割点集合的唯一元素被称为割点 (cut point)，又叫关节点 (articulation point)。如果一个无向连通图的边连通度大于 1，则称该图是边双连通的 (edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为 1，则割边集合的唯一元素被称为桥 (bridge)，又叫关节边 (articulation edge)。可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。 双连通分支 在图 G 的所有子图 G’ 中，如果 G’ 是双连通的，则称 G’ 为双连通子图。如果一个双连通子图 G’ 它不是任何一个双连通子图的真子集，则 G’ 为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。 求割点与桥 该算法是 R.Tarjan 发明的。对图深度优先搜索，定义 DFS(u) 为 u 在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义 Low(u) 为 u 或 u 的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即 DFS 序号最小的节点。根据定义，则有：Low(u)=Min DFS(u) DFS(v) (u,v) 为后向边 (返祖边) 等价于 DFS(v)<DFS(u) 且 v 不为 u的父亲节点 Low(v) (u,v) 为树枝边 (父子边) 一个顶点 u 是割点，当且仅当满足 (1) 或 (2) (1) u 为树根，且 u 有多于一个子树。(2) u 不为树根，且满足存在 (u,v) 为树枝边 (或称父子边，即 u 为 v 在搜索树中的父亲)，使得 DFS(u)<=Low(v)。一条无向边 (u,v) 是桥，当且仅当 (u,v) 为树枝边，且满足 DFS(u)<Low(v)。 求双连通分支 下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边 (非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足 DFS(u)<=Low(v)，说明 u 是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边 (u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。 构造双连通图 一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为 1。统计出树中度为 1 的节点的个数，即为叶节点的个数，记为 leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2 条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是 (leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是 (leaf+1)/2 次，把所有点收缩到了一起。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int low[N],dfn[N],num;
bool iscut[N];
vector<int > vec[N];
int n;
void dfs(int u,int fa)                      ///fa为u的父节点
{
    int child=0;                            ///子节点的数目
    low[u]=dfn[u]=++num;
    int len=vec[u].size();
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int v=vec[u][i];
        if(!dfn[v]){
            child++;
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=1)iscut[u]=1;     ///标记割点
        }
        else if(dfn[v]<dfn[u]&&v!=fa)low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(u==1&&child>=2)
        iscut[1]=1;
}
void init()
{
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    num=0;
    memset(iscut,0,sizeof(iscut));
}
int main()
{
    ///建图
    int ans=0;
    dfs(1,-1);                              ///起点为1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=iscut[i];
    return 0;
}

模板

注意：判断割点的条件为low[u]>=dfn[u]，判断桥的条件为low[u]>dfn[u]

标签：连通,int,子图,割点,dfn,连通分支
来源： https://www.cnblogs.com/zenghuan0620/p/13281291.html

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