整除
定义
若 $ a = bk $ , 其中 $ a \in Z, b \in Z, k \in Z $, 则称 $ b $ 整除 $ a $ , 记做 $ b | a $.
也称 $ b $ 是 $ a $ 的约数(因数), $ a $ 是 $ b $ 的倍数
性质
\((1)\) $ 1 $ 整除任何数 $ ( 1 | k ) , k \in Z$ , $ 0 $ 被任何数整除 $ ( k | 0), k \in Z \(
**\)(2)$** 若 $ a | b $ 且 $ a | c $, 则 $ a | (b + c), a | (b - c)$
\((3)\) 若 $ a | b $, 则对于任意整数 $ c $ , $ a | bc $
\((4)\) 传递性：若 $ a | b $ 且 $ b | c $ , 则 $ a | c \(
**\)(5)$** 有待添加
例题
质数和合数
定义
质数又称素数(下文中不区分质数和素数)
设 $ p \in Z_+ $
\((1)\) 当且仅当 $ p > 1 $ 且只能被 $ 1 $ 和 $ p $ 整除(即 $ p $ 仅有两个因子 $ 1 $ 和 $ p $ ), 则称 $ p $ 是一个质数;
\((2)\) 否则, 若 $ p > 1 $ , 则称 $ p $ 是一个合数;
\((3)\) 当 $ p = 1 $, $ p $ 既不是质数也不是合数.
性质
\((1)\) 质数有无穷多个.
\((2)\) 若 $ n $ 是一个合数, 则 $ n $ 至少有一个质因子.
\((3)\) 若 $ n $ 是一个合数, 其中最小的质因子一定不大于 $ \sqrt n \(
**\)(4)$** 若 $ n $ 是一个合数, 不大于 $ n $ 的质数约有 $ \dfrac{n}{\ln n} $ 个.
唯一分解定理
把正整数 $ n $ 写成质数的乘积
$ n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k} $, 其中 $ p_i $ 为质数, \(a_i\) 为正整数
这样的表示是唯一的.
判断一个数\(n\)是否为质数
只需要从 $ 2 $ 除到 $ \sqrt n$ 即可, 如果中间有整数能整除 \(n\) 则, \(n\) 是合数, 反之 \(n\) 是质数
例题
[CF 776B] Sherlock and his girlfriend
标签：数论,质数,CF,笔记,因子,整理,整除,例题,合数 来源： https://www.cnblogs.com/lieberdq/p/13271744.html
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