标签：BJOI2019 return limits Luogu sum sqrt5 i64 comp 勘破
\(m=2\)
此时答案为\(\frac{\sum\limits_{i=l+1}^{r+1}{f_i\choose k}}{r-l+1}\)，其中\(f_i\)为第\(i\)个Fibonacci数。
也就是说我们现在要考虑如何求出\(\sum\limits_{i=l}^r{f_i\choose k}\)。
我们知道\(f_n=\frac1{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt 5}2)^n-\frac1{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}2)^n\)，设\(x=\frac{1+\sqrt5}2,y=\frac{1-\sqrt5}2,a=\frac1{\sqrt5},b=-\frac1{\sqrt5}\)，那么\(f_n=ax^n+by^n\)。
因此我们有
\[\begin{aligned} &\sum\limits_{n=l}^r{f_i\choose k}\\ =&\frac1{k!}\sum\limits_{n=l}^rf_i^{\underline k}\\ =&\frac1{k!}\sum\limits_{n=l}^r\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\left[k\atop i\right]f_n^i\\ =&\frac1{k!}\sum\limits_{n=l}^r\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\left[k\atop i\right]\sum\limits_{j=0}^i{i\choose j}a^jb^{i-j}(x^jy^{i-j})^n\\ &=\frac1{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\left[k\atop i\right]\sum\limits_{j=0}^i{i\choose j}\sum\limits_{n=l}^r(x^jy^{i-j})^n \end{aligned} \]
注意到\(\sqrt5\bmod998244353\)并不存在，因此我们在\(\mathbb{F_p}(\sqrt5)\)下计算即可。
\(\sum\limits_{n=l}^r(x^jy^{i-j})^n\)部分可以直接运用等比数列求和公式求出，这样做的时间复杂度为\(O(k^2\log n)\)。
\(m=3\)
很显然\(\forall2\nmid n,g_n=0\)，因此我们用\(g_n\)来表示\(g_{2n}\)。
可以发现\(g\)的递推公式为\(g_n=4g_{n-1}-g_{n-2}\)，解得\(g_n=\frac{3+\sqrt3}6(2+\sqrt3)^n+\frac{3-\sqrt3}6(2-\sqrt3)^n\)。
然后套用\(m=2\)时的做法即可。
利用Vieta定理+分治NTT可以做到\(O(k\log n+k\log^2k)\)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using i64=long long;
const int N=507,P=998244353;
int k;i64 C[N][N],S[N][N],m,l,r;
i64 add(i64 a,i64 b){return a+=b-P,a+(a>>63&P);}
i64 sub(i64 a,i64 b){return a-=b,a+(a>>63&P);}
i64 pow(i64 a,i64 b){i64 r=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%P)if(b&1)r=a*r%P;return r;}
struct comp{i64 a,b;comp(i64 x=0,i64 y=0):a(x),b(y){}}pw1[N],pw2[N],pw3[N],pw4[N];
i64 norm(comp a){return sub(a.a*a.a%P,m*a.b*a.b%P);}
comp conj(comp a){return comp{a.a,sub(0,a.b)};}
int operator==(comp a,comp b){return a.a==b.a&&a.b==b.b;}
comp operator+(comp a,comp b){return comp{add(a.a,b.a),add(a.b,b.b)};}
comp operator-(comp a,comp b){return comp{sub(a.a,b.a),sub(a.b,b.b)};}
comp operator*(comp a,comp b){return comp{(a.a*b.a+m*a.b*b.b)%P,(a.a*b.b+a.b*b.a)%P};}
comp operator/(comp a,comp b){return a*conj(b)*pow(norm(b),P-2);}
comp operator^(comp a,i64 b){comp r(1);for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)r=a*r;return r;}
comp sum(comp z,i64 l,i64 r){return z==comp(1,0)? (r-l+1)%P:((z^(r+1))-(z^l))/(z-1);}
int main()
{
i64 fac=1,len;comp phi,x,ans;scanf("%*d%lld%lld%lld%d",&m,&l,&r,&k),len=(r-l+1)%P,pw1[0]=pw2[0]=pw3[0]=pw4[0]={1,0};
for(int i=2;i<=k;++i) fac=fac*i%P;
for(int i=0;i<=k;++i) for(int j=C[i][0]=1;j<=i;++j) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
for(int i=S[0][0]=1;i<=k;++i) for(int j=1;j<=i;++j) S[i][j]=sub(S[i-1][j-1],S[i-1][j]*(i-1)%P);
if(m==2) ++l,++r,m=5,phi=comp(0,1)/5,x=comp(1,1)/2; else if(l=(l+1)/2,r/=2,l>r) return puts("0"),0; else phi=comp(3,1)/6,x=comp(2,1);
for(int i=1;i<=k;++i) pw1[i]=pw1[i-1]*phi,pw2[i]=pw2[i-1]*conj(phi),pw3[i]=pw3[i-1]*x,pw4[i]=pw4[i-1]*conj(x);
for(int i=0;i<=k;++i) for(int j=0;j<=i;++j) ans=ans+(S[k][i]*C[i][j])%P*pw1[j]*pw2[i-j]*sum(pw3[j]*pw4[i-j],l,r);
printf("%lld",ans.a*pow(len*fac%P,P-2)%P);
}
标签：BJOI2019,return,limits,Luogu,sum,sqrt5,i64,comp,勘破 来源： https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12804028.html
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