标签：期望 limits 花费 Luogu sum frac CERC2017 Gambling
背景
题意
给定一张 \(n\) 个点， \(m\) 条边的无边权的无向图。有一人从 \(1\) 号点出发，可以随机向一个和当前直接相连的点走去，花费 \(1\) 的代价；也可以不动，重新随机一个点，也花费 \(1\) 的代价。求到达 \(n\) 点时的最小总花费。答案四舍五入保留 \(6\) 位小数。
解法
根据之前总结过的期望dp的设计方法，因为只有一个终点，且状态已知（期望花费为 \(0\) ），因此考虑逆推。自然地，设 \(f_x\) 表示点 \(x\) 到终点的期望花费。用 \(E\) 表示边集， \(deg_x\) 表示 \(x\) 点的度数，则有 \(f_x=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E} \min \{ f_x,f_y \} }{deg_x}+1\) 。
那么，对于一个点 \(x\) 来说，能对它的期望产生贡献的相邻的点 \(y\) 必然有 \(f_y<f_x\) 。一开始不妨令所有的 \(x\) 点在计算 $ \min { f_x,f_y }$ 时都为 \(f_x\) （下文会证明确实只会出现这种情况）。
假设这样的 \(y\) 点有 \(cnt_x\) 个，则有 \(f_x=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+ \frac{(deg_x-cnt_x) \times f_x}{deg_x}+1=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+(1- \frac{cnt_x}{deg_x} ) \times f_x+1\) 。
因此，果断求出 $ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y $ ，记为 \(sum_x\) ，则 \(f_x=\frac{sum_x}{deg_x}+(1- \frac{cnt_x}{deg_x} ) \times f_x+1\) ，化简得 \(f_x= \frac{deg_x+sum_x}{cnt_x}\) 。
标签：期望,limits,花费,Luogu,sum,frac,CERC2017,Gambling 来源： https://www.cnblogs.com/Peter0701/p/11741788.html
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