2-3树
关键字 1-2 个
子节点 2-3 个
平衡树：子节点的高度一致
B树（Balacned Tree）
一种平衡的多分树
平衡：所有的叶结点在同一层，所以每个子节点的高度一致
m阶B树的结构定义
1、每个结点至多有m个子结点
2、除根节点和叶节点外，其他每个结点至少有m/2（向上取整）个结点
3、根结点至少有两个子结点
- 唯一例外的是根节点就是叶结点时没有子结点
- 此时B树只包含一个结点
4、所有的叶结点在同一层（平衡）
5、有k个子节点的非根节点恰好包含k-1个关键码
B树的性质
1、树高平衡，所有叶结点都在同一层
2、关键码没有重复，父结点中的关键码是其子结点的分界
3、B树把（值接近）相关记录放在同一个磁盘页中，从而利用局部性原理
4、B树保证树中至少有一定比例的结点是满的（每个结点有至少有m/2个子节点，半满）
- 这样能改进空间的利用率（如果每个节点只有1个子节点，BST，树高会很高，空间利用率低）
- 减少索引和更新操作的磁盘读取数目（如果每个节点有m个子节点，全满，那么每次插入的时候没处插了）
- 除根节点和叶节点外，M阶B树每个节点有m/2~m个结点，根节点至少有两个子节点（插入时多次分裂）
- 有k个子节点的非根节点恰好包含k-1个关键码
- 父结点中的关键码是其子结点的分界
B树的节点结构
B树的一个包含j个关键码，j+1个指针的节点的一般形式为：
P0，K1，P1，K2，P2....Kj，Pj #j个关键码，j+1个指针指向子节点
其中ki是关键码值，K1<K2<….<Kj
Pi是指向Ki到Ki+1之间的关键码的子树的指针
- 如果有j个关键字，那么有可以表示j+1个区间，即有j+1个子节点
- 关键词下标从1开始，P从0开始，Pi是指向Ki到Ki+1之间的关键码的子树的指针
- 举个例子：P0指向K0到K1之间，即小于K1的，P1指向K1到K2
B树结点抽象数据类型
class BNode{
int n;//子节点的个数
BNode<Key> *parent;//指向父节点的指针（可有可不有）
Key key[MAXREC];//存储关键码的数组，最多有MAXREC个关键码
BNode<Key> *ptr[MAXREC+1];//指向子节点的指针，最多有MAXREC+1个指针
}
B树的查找
1、把根节点读出来，在根节点所包含的关键码K1…Kj中查找给定的关键码值。当关键码不多时，就用顺序检索，当节点包含的关键码较多时，可以用二分检索。如果找到则检索成功
2、否则，确定要查的关键码指在某个Ki和Ki+1之间，那么去Pi所指向的节点继续查找
下图为查找24的过程
如果树高为h，则查找时访问外存的次数是h
注意：
每个关键码表示索引，找到索引后，每个关键码还对应一个指向外存的指针，这样通过索引才可以访问到完整的记录
B树的插入（分裂向上生长）
情况1：
首先判断关键码14是否存在，按照图中的轨迹查找，此时到15所在的节点，遍历后发现没有14，则在该节点中插入
此时外存读的次数是3，写的次数是1
情况2：
插入可能导致B树朝着根的方向生长，即当插入位置超过关键字的最大个数，节点需要进行分裂
如插入55，但2-3树要求关键字数只由1~2个，此时插入节点50，52已经达到个数，55无法直接插入，需要进行分裂
50 52 55如何拆分？
父节点需要增加一个节点进行区分子节点拆分后的节点，采用二分的方法，将中间的52送到父节点，得到结果：
此时读的次数3，写的次数3（申请两个节点，并分别写入，这里包含两次写，还有在父节点中写入1次）
情况3：
多次分裂，树向上生长
最终的结果是：
B数的删除（向左或向右合并）
6阶B树删除45
对于6阶B树，子节点树要求m/2~m，即 3~6，关键码的个数为2~5，在删除的过程中需要防止下溢出，即关键码的数量小于规定的个数
在删除掉45后，当前节点只有110一个关键字，下溢出了。其中一种方案是向左右节点借关键码，同时要将父节点拉下来，这里演示向右节点借关键码。此时合并的关键码有110，112，135，143，212，需要进行分裂，根据二分分裂的方式，将135移到父节点，即用135替换123，然后子节点分裂，反别是110，112和142，212，结果是：
给出一个极限情况下删除的例子：
删除的时候如果发生下溢出，即当前关键码个数小于定义的个数，则需要进行合并，向左节点或有节点合并
如果删除后，节点为0仍保持0的状态，按照向左向右合并的方式进行操作
B+树
B+树是B树的一种变形，是在叶结点上存储信息的树：
- 所有的管家那么均出现在叶结点上
- 各层节点中的关键码均是下一层相应节点中最大关键码（或最小关键码）的复写
B+树的结构定义
- 每个节点至多有m个子节点
- 每个结点（除根外）至少有m/2（向上取整）个子结点
- 根节点至少有两个子结点
- 有k个子结点的必有k个关键码（这个是与B树的差别）
- 根节点有2~m个子节点
- 除根节点外有m/2（向上取整）~m个子结点
- 有k个子结点的节点有k个关键字（这是与B树的结构差别，B树有k-1个关键字）
- m阶B+树有m个子节点，也有m个关键字
- m个关键字是子结点的复写，当前层的关键码是其每个子结点关键码的最大关键码（也可以是最小）
- 根节点是线性索引，可以顺序查找；再加上多分树形查找
- 树形索引中不包含指向真实数据位置的指针，必须索引到树的叶子节点才算找到；好处是可以提高树的阶数，降低树的高度，加速索引速度
B+树的插入
如下3阶B+树，节点最多有3个关键码，当插入15后，查询到10 23这个节点，插入15。父节点不需要重写
3阶B+树插入16后，叶子节点的关键为16超过最大阶3，所以需要分类成10、15和16、23，并增加分类节点之间的线性链接，修改父节点的关键码，每个关键码是子结点关键码最大值的复写
多次分裂
B+树的删除
如下B+树删除23，首先需要查找23；第一个节点判断，23<=35，到第二个子结点查找；23<=23，在第一个子结点中查找；删除关键码23；
此时父节点中的23能够正确标识父节点的区间，所以不进行更新（类似线段树中的延迟更新）
B树与B+树的区别
节点结构：
- 当前节点有k个子结点，B树有k-1个关键码，B+树有k个关键码
- B树当前节点的关键码类似BST是子结点关键码的分割，B+树当前节点的关键码是子结点的复写（子结点关键码的最大值或最小值）
查找：
B树每个节点保存了指向真实位置的指针，找到关键码就能找到真实位置；B+树必须索引到叶子节点；B+树提供了索性查找和顺序查找两种方式
实际中使用B+树特别多
参考
第10章 索引——2（B树,B树） 标清
https://www.youtube.com/watch?v=vBD6Ve8VryY
原文:大专栏 5、B数、B+数、红黑树
标签：结点,关键码,个子,插入,查找,红黑树,节点 来源： https://www.cnblogs.com/chinatrump/p/11611922.html
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