标签：费用 件物品 cost .. 九讲 背包 物品

目录

• 01背包问题
• 完全背包问题
• 多重背包问题
• 混合三种背包问题
• 二维费用的背包问题
• 分组的背包问题
• 有依赖的背包问题
• 泛化物品
• 背包问题问法的变化

01背包问题

基本问题

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(V\) 的背包。第 \(i\) 件物品的费用是 \(c[i]\)，价值是 \(w[i]\)。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

\(f[i][v]\) 表示前 \(i\) 件物品恰放入一个容量为 \(v\) 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

\[ f[i][v]=max(f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]) \]

\(f[N][V]\) 则为背包可能的最大价值。

优化空间复杂度

时间复杂度为\(O(N\times V)\)，空间复杂度可以优化为\(O(V)\)。

for i = 1..N
    for v = V..0
        f[v] = max{f[v], f[v - c[i]] + w[i]};

初始化的细节问题

• 要求恰好装满背包：\(f[0]\) 设置为0，其他\(f[1..V]\) 均设置为 \(- \infty\)。
• 不要求恰好装满背包，只要求价值最大：\(f[0..V]\)均设置为0。

题目

HDU2602   题解

完全背包问题

基本问题

有 \(N\) 种物品和一个容量为 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。第 \(i\) 种物品的费用是 \(c[i]\)，价值是\(w[i]\)。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

令 \(f[i][v]\) 表示前 \(i\) 种物品恰放入一个容量为 \(v\) 的背包的最大权值。可以得到状态转移方程式：

\[ f[i][v]=max(f[i - 1][v - k \times c[i]] + k \times w[i] | 0 <= k \times c[i] <= v) \]

改进做法

我们可以通过一个 \(O(N\times V)\) 的方法进行完全背包问题求解。状态转移方程式为：

\[ f[i][v]=max(f[i-1][v], f[i][v-c[i]]+w[i]) \]

\(f[V]\) 则为背包可能的最大价值。

for i = 1..N
    for v = 0..V
        f[v] = max{f[v], f[v - cost] + weight}

题目

HDU1114   题解

多重背包问题

基本问题

有 \(N\) 种物品和一个容量为 \(V\) 的背包。第 \(i\) 种物品最多有 \(n[i]\)件可用，每件费用是 \(c[i]\)，价值是 \(w[i]\)。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

令 \(f[i][v]\) 表示前 \(i\) 种物品恰放入一个容量为 \(v\) 的背包的最大权值，则有状态转移方程：

\[ f[i][v]=max(f[i-1][v-k \times c[i]]+k\times w[i]|0<=k<=n[i]) \]

复杂度为 \(O(V \times \sum_i n[i])\)。

二进制优化

将第 \(i\) 种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 \(1,2,4,...,2^{k-1}, n[i] - 2^{k+1}\)，且 \(k\) 是满足 \(n[i] - 2^{k+1} > 0\) 的最大整数。例如：如果 \(n[i]\) 为 \(13\)，就将这种物品分成系数分别为 \(1,2,4,6\) 的四件物品。

这样就将第 \(i\) 种物品分成了 \(O(\log n[i])\) 种物品，将原问题转化为了复杂度为 \(O(V\times \sum \log n[i])\) 的 01 背包问题 。

procedure ZeroOnePack(cost, weight)
    for v = V..cost
        f[v] = max{f[v], f[v - cost] + weight}
 
procedure CompletePack(cost, weight)
    for v = cost..V
        f[v] = max{f[v], f[v - cost] + weight}

procedure MultiplePack(cost, weight, amount)
    if cost * amount >= V {
        CompletePack(cost, weight)
        Return
    }
    integer k = 1
    while k < amount {
        ZeroOnePack(k * cost, k * weight)
        amount = amount - k
        k = k * 2
    }
    ZeroOnePack(amount * cost, amount * weight)

单调队列优化

基于基本算法的状态转移方程，应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊 \(O(1)\) 的时间求解。总的复杂度可以达到 \(O(NV)\)

参考

题目

HDU1059   题解

混合三种背包问题

基本问题

有的物品只可以取一次（01 背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。即将前三种情况混合起来。求解背包可能的最大价值。

基本思路

混合使用以上的三种背包问题求解方法。

for i = 1..N
    if 第 i 件物品是 01 背包
        ZeroOnePack(c[i], w[i])
    else if 第 i 件物品是完全背包
        CompletePack(c[i], w[i])
    else if 第 i 件物品是多重背包
        MultiplePack(c[i], w[i], n[i])

二维费用的背包问题

基本问题

对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为 代价 1 和 代价 2 ，第 \(i\) 件物品所需的两种代价分别为 \(a[i]\) 和 \(b[i]\)。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为 \(V\) 和 \(U\)。物品的价值为 \(w[i]\)。

基本思路

设 \(f[i][v][u]\) 表示前 \(i\) 件物品付出两种代价分别为 \(v\) 和 \(u\) 时可获得的最大价值。状态转移方程为：

\[ f[i][v][u] = max(f[i-1][v][u], f[i-1][v-a[i]][u-b[i]] + w[i]) \]

物品个数限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取 \(M\) 件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为 \(1\)，可以付出的最大件数费用为 \(M\)。

设 \(f[v][m]\) 表示付出费用 \(v\)、最多选 \(m\) 件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在 \(f[0..V][0..M]\) 范围内寻找答案

分组的背包问题

基本问题

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(V\) 的背包。第 \(i\) 件物品的费用是 \(c[i]\)，价值是 \(w[i]\)。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

\(f[k][v]\) 表示前 \(k\) 组物品花费费用 \(v\) 能取得的最大权值，则有：

\[ f[k][v] = max(f[k-1][v], f[k-1][v - c[i]] + w[i] | 物品 i 属于第 k 组) \]

伪代码如下。注意三层 for 循环的顺序不能写错。

for 所有的组 k
    for v = V..0
        for 所有的 i 属于组 k
            f[v] = max{f[v], f[v - c[i]] + w[i]}

有依赖的背包问题

基本问题

这种背包问题的物品间存在某种 依赖 的关系。也就是说，\(i\) 依赖于 \(j\)，表示
若选物品 \(i\)，则必须选物品 \(j\)。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于
别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

基本思路

我们可以对主件 \(i\) 的“附件集合”先进行一次 01 背包，得到费用依次为 \(0..V-c[i]\)所有这些值时相应的最大价值 \(f'[0..V-c[i]]\)。那么这个主件及它的附件集合相当于 \(V-c[i]+1\) 个物品的物品组，其中费用为 \(c[i]+k\) 的物品的价值为 \(f'[k]+w[i]\)。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次 01 背包后，将主件 \(i\) 转化为 \(V-c[i]+1\) 个物品的物品组，就可以直接应用分组背包问题 =的算法解决问题了。

泛化物品

泛化物品的定义

考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它
的费用而变化。这就是泛化物品的概念。

更严格的定义是：在背包容量为 \(V\) 的背包问题中，泛化物品是一个定义域为 \(0..V\)
中的整数的函数 \(h\)，当分配给它的费用为 \(v\) 时，能得到的价值就是 \(h(v)\)。

标签：费用,件物品,cost,..,九讲,背包,物品
来源： https://www.cnblogs.com/solvit/p/11331860.html

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