标签：begin end px LightOJ 1408 amp aligned frac

题意：

一个人在击球，有p的概率集中，有(1-p)的概率击不中。如果能够连续击中x次将停止，连续不集中y次也将停止。问最终停止击球时击球次数的期望。

思路：

设f[i]代表连续击中i次之后距离结束还剩的期望步数。g[i]代表连续不集中i次后距离结束的期望步数。可以列出下列方程：
$\left\{\begin{aligned} f[i]=p*f[i+1]+(1-p)*g[1]+1\\ g[i]=(1-p)*g[i+1]+p*f[1]+1 \end{aligned}\right.${f[i]=p∗f[i+1]+(1−p)∗g[1]+1g[i]=(1−p)∗g[i+1]+p∗f[1]+1​
边界条件:
$\left\{\begin{aligned} f[x]=0\\ g[y]=0 \end{aligned}\right.${f[x]=0g[y]=0​
答案：
$ans = p*f[1]+(1-p)*g[1]$ans=p∗f[1]+(1−p)∗g[1]
$$

推导过程：

令：
$\left\{\begin{aligned} A &= (1-p)*g[1]+1\\ B&=p*f[1]+1 \end{aligned}\right.${AB​=(1−p)∗g[1]+1=p∗f[1]+1​

则原式：
$\left\{\begin{aligned} f[i] &= p*f[i+1]+A\\ g[i]&=(1-p)*g[i+1]+B \end{aligned}\right.${f[i]g[i]​=p∗f[i+1]+A=(1−p)∗g[i+1]+B​
求解f[1]和g[1]:
$\begin{aligned} f[1] &= p*f[2]+A\\ &= p*(p*f[3]+A)+A\\ &= p^2*f[3]+A*(1+p)\\ &=p^{x-1}*f[x]+A*(1+p+p^2+...+p^{x-2})\\ &=0+A*\frac{1-p^{x-1}}{1-p}\\ &=A*\frac{1-p^{x-1}}{1-p}\\ &=(1-p^{x-1})*g[1]+\frac{1-p^{x-1}}{1-p} \end{aligned}.$f[1]​=p∗f[2]+A=p∗(p∗f[3]+A)+A=p2∗f[3]+A∗(1+p)=px−1∗f[x]+A∗(1+p+p2+...+px−2)=0+A∗1−p1−px−1​=A∗1−p1−px−1​=(1−px−1)∗g[1]+1−p1−px−1​​.
同理 $g[1]=[1-(1-p)^{y-1}]*f[1]+\frac{1-(1-p)^{y-1}}{p}$g[1]=[1−(1−p)y−1]∗f[1]+p1−(1−p)y−1​
令
$\left\{\begin{aligned} C&= [1-(1-p)^{y-1}]\\ D&=\frac{1-(1-p)^{y-1}}{p}\\ E&=(1-p^{x-1})\\ F&=\frac{1-p^{x-1}}{1-p} \end{aligned}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​CDEF​=[1−(1−p)y−1]=p1−(1−p)y−1​=(1−px−1)=1−p1−px−1​​
则
$\left\{\begin{aligned} g[1]&=C*f[1]+D\\ f[1]&=E*g[1]+F \end{aligned}\right.${g[1]f[1]​=C∗f[1]+D=E∗g[1]+F​
求得$f[1]=\frac{DE+F}{1-CE}$f[1]=1−CEDE+F​
$g[1]=C*f[1]+D$g[1]=C∗f[1]+D
带入ans即可。
需要注意p=0或p=1时的情况。
代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)

const int maxn = 5e5 + 10;
const int maxm = 5e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-10;

ld p, x, y;

int main() {
    __;
    int _;
    cin >> _;
    for (int sce = 1; sce <= _; ++sce) {
        cin >> p >> x >> y;
        cout << "Case " << sce << ": ";
        p = 1.0 - p;
        if (p == 1.0) {
            cout << x << endl;
            continue;
        }
        if (p == 0.0) {
            cout << y << endl;
            continue;
        }
        ld ans = 0;
        ld C = 1.0 - powl(1.0 - p, y - 1.0);
        ld D = (1.0 - powl(1.0 - p, y - 1.0)) / p;
        ld E = (1.0 - powl(p, x - 1.0));
        ld F = (1.0 - powl(p, x - 1.0)) / (1.0 - p);
        ld f1 = (D * E + F) / (1.0 - C * E);
        ld g1 = C * f1 + D;
        cout << fixed << setprecision(10) << (ld) (p * f1 + (1.0 - p) * g1 + 1.0) << endl;
    }
    return 0;
}

标签：begin,end,px,LightOJ,1408,amp,aligned,frac
来源： https://blog.csdn.net/moon_sky1999/article/details/98097470

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。