标签：frac gcd 省选 sum 一轮 dfs varphi choose
拉格朗日差值
最小树形图
二项式反演
BSGS
最小割树
虚树
boruvka
\(1.0/1\)串也可以黑白染色。
\(2.\) 在平面图中，总是满足： \(V-E+F=1+C\)（\(F\)是面数，\(C\)是联通块数）。
\(3.S\bigcap T = \emptyset\Leftrightarrow S\subseteq \complement_uT\)
\(4.\)差分表第\(0\)条对角线为\(c_1,c_2,c_3,\cdots c_k,0,0,\cdots\)，那么通项为\(h_n=\sum_{i=0}^k c_i{n\choose i}\), 前缀和为\(\sum_{i=1}^nh_i=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^kc_j{i\choose j}=\sum_{j=0}^kc_j\sum_{i=1}^n{i\choose j}=\sum_{j=0}^kc_j{n + 1\choose j + 1}\)
\(5.\)点分治处理联通块问题：强制每次都经过分治中心。
\(6.\Theta(1)\)快速乘：$a % p = a - \lfloor \frac a p \rfloor\times p $
\(7.\)通过交换对\(0/1\)序列排序：倍增法。
\(8.\)矩阵树定理。
\(9.\)全幺模矩阵：只有\(0,1,-1\)；每列至多两个非零数；如果一列包含两个非零数，他们相同则这两行不在一个集合，不同则在一个集合，最后可以划分成两个合法的行集合。这样的矩阵经过初等变换还是全幺模矩阵。
\(10.\sum_{i=1}^n\lfloor\frac n i\rfloor = \sum_{i=1}^n \sigma(i)\)
\(11.\sum_{gcd(i,n)=1}i=\frac{\varphi(n)n}2\)
\(12.\varphi(n)=n\prod_{p|n,p~is~prime}\frac{p-1}p\)
\(13.\) 当 \(F(x)\)是二次函数，\(\int F(x)=\frac{(r-l)}{6}[F(r)+F(l)+4F(\frac{l+r}2)]\)
\(14.\)在\(\%p\)意义下，\(1-p-1\)逆元互不相同。
\(15.\) 与 \(n\)互质的数每\(n\)个一循环，\(\gcd(i,n)=1\Leftrightarrow\gcd(i+n,n)=1\)
\(16.(x+1)^p=x^p+1\)
\(17.\mu^2(i)=\sum_{d^2|i}\mu(d)\)
\(18.\)两个不同的数的\(\gcd\)不会超过两个数的差。
\(19.\)在\(xor\)意义下，所有环都可以被简单环（dfs树上的非树边或dfs不走当前栈上的点）组成。
\(20.\)两棵树相连，新树重心在原来两个重心之间的路径上。
\(21.\)一棵树加/删一个点，重心只移动一条边。
\(22.\gcd(i,j)=\sum_{d|\gcd(i,j)}\varphi(d)\)
\(23.I[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\)
\(24.\)对于询问修改等操作分块，平均复杂度。
\(25.\)在dfs序上建主席树，解决子树/链问题。
\(26.beatty\)数列。
\(27.x^k=\sum_{i=0}^{x~or~k}{x\choose i}i!S_2(k,i)\)
\(28.\)已知\(ab/ba,bc/cb\) 可以得到 \(ac\)，这样的问题有传递性，考虑最小生成树。
\(29.xy\)是完全平方数，\(yz\)是完全平方数，那么\(xz\)也是完全平方数。
\(30.\)图的最短路图也是DAG，DAG求割边当无向图做。
\(31.\)子树在\(dfs\)序/括号序中代表一段区间。
\(32.\)拓扑图统计路径的方法：把图断成两部分，只有左部向右部的连边，路径分三种：左部自己的，右部自己的，跨过断层的。
\(33.\)用当前图案为单位拼基础图案\(\Leftrightarrow\)用基础图案代替每个单位。
\(34.\)在\(\%2\)意义下，\(+-\)都变成\(xor\)。
\(35.n\)个点的虚树，按照\(dfs\)序排序，边数\(=\frac{\sum_idis(p_i,p_{i\%n+1})}{2}\)
\(36.\)一个排列可以看成是一个置换，\(i->p_i\)连边，\(p_{p_i}\)就是走两步，结果奇环改变顺序，偶环变成两个。
\(37.g\)存在条件：\(p=q^a,2q^a,2,4\)（\(q\)是奇素数）；\(\forall p_i,g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\ne 1(mod~p)\)
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