标签：frac dh cdot 微分 应用 dV pi dr 实际
绪
已知圆柱体(cylinder)的底面积: $ S=πr^{2} $, 而圆柱体的体积(volume): $ V=S \cdot h=πr^{2} \cdot h $ .
问: 圆柱体的体积,随圆柱体底面积变化而变化的速率快,还是随高度变化而变化的速率快?
了解到微分的概念之后,便可以对两种变化趋势做量化分析对比,由此可以根据控制变量法设计两个实验:
首先存在一个圆柱体C,高度为h,底面圆半径为r.
实验一: $h 不变, r 增长一个极其微小之量d $, 算出C.volume增加多少.
实验二: $r 不变, h 增长一个极其微小之量d $, 算出C.volume增加多少.
随后, 利用微分求出两个实验各自的体积增量通式,然后分别代入一些具体的数值, 分析C.volume随 r 变化而变化的速率与C.volume随 h 变化而变化的速率的对比.
实验设计
实验一
\[V_{1}-V=dV_{1} \]\[V_{1}=h(r+dr)^{2}\pi \]\[V=hr^{2}\pi \]\[\\ \\ \]\[\lim_{dr \to 0}dV_{1}=\lim_{dr \to 0} h(r+dr)^{2}\pi- hr^{2}\pi \]\[\Rightarrow h[r^{2}+2r\cdot dr+(dr)^{2}]\pi -hr^{2}\pi \]\[hr^{2}\pi+2\pi hr \cdot dr+\pi h(dr)^{2}-hr^{2}\pi \]\[=2\pi hr \cdot dr+\pi h(dr)^{2} \]\[=\lim_{dr \to 0}\pi h[2r\cdot dr + (dr)^{2}] \]\[\because 2r\cdot dr是低阶无穷小,(dr)^{2}是高阶无穷小 \]\[\therefore \lim_{dr \to 0} \pi h[2r\cdot dr + (dr)^{2}]=2r\pi h\cdot dr \]\[dV_{1}=2r\pi h\cdot dr \]\[\\ \\ \]\[\frac{dV_{1}}{dr}=2r\pi h,代表了r变化时,V的变化率. \]实验二
\[V_{2}-V=dV_{2}\\ V_{2}=\pi r^{2} (h+dh)\\ V=\pi r^{2}h \]\[\\ \\ \]\[\lim_{dh \to 0}dV_{2}=\lim_{dh \to 0} \pi r^{2} (h+dh)- \pi r^{2}h \\ \pi r^{2}h+\pi r^{2}\cdot dh-\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot dh \]\[\\ \\ \]\[\therefore dV_{2}=\pi r^{2}\cdot dh \]\[\\ \\ \]\[\frac{dV_{2}}{dh}=r^{2}\pi,代表h变化时,V的变化率. \]应用分析
微分可以应用到一些工业储存容器的设计制造中,例如用以储油的油桶及油罐.
比如一个高10米,底面圆半径5米的圆柱形油罐.现在对它有一个体积扩容的需求,问是增加高度更高效,还是增大底面积更有效率?
由上已经得到了$ \frac{dV_{1}}{dr}=2\pi rh 和 \frac{dV_{2}}{dh}=r^{2}\pi $ . 将上述问题代入两个式子中:
\[\frac{dV_{1}}{dr} = 100 \pi \]\[\\ \\ \]\[\frac{dV_{2}}{dh}=25 \pi \]通过对比明显发现,在两个方向同样增加一个相同量的情况下,由增大底面积而获得的容积增量更大.
但如果是高1米,底面圆半径5米的油罐:
\[\frac{dV_{1}}{dr} = 10 \pi \]\[\\ \\ \]\[\frac{dV_{2}}{dh}=25 \pi \]此时反而是容积随高度变化而变化的速率更快.
进而得出结论: 如果一个圆柱体的高度远大于底面圆半径,通过增高而获得的体积增幅,不如增大底面圆半径而获得的体积增幅明显.
反之,若圆柱体的底面圆半径远大于高度,通过增高而获得的体积增幅,比增大底面圆半径而获得的体积增幅更加明显.
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