标签：特征值 题目 特征向量 二次 矩阵 sqrt 线性代数 frac array
目录1 一种套路，见过就会做了
题意：
- 设 A B 是 n 阶实对称矩阵，且 A 是正定矩阵，证明存在可逆矩阵 P，使得 \(P^TAP\) 和 \(P^TBP\) 都是对角矩阵。
解答：
- 首先，因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 L，使得 \(L^TAL=E\)。
- 然后，\(L^TBL\) 也是实对称矩阵，合同于对角矩阵 \(Q^T(L^TBL)Q=D\)，Q 是正交矩阵。
- 因为 Q 是正交矩阵，所以 \(Q^T(L^TAL)Q=Q^TEQ=Q^TQ=E\)，即 \((LQ)^TA(LQ)=E\)。
- 取 P=LQ，符合题意。
2 反证法是万能的
题意：
- 若 A 为 n 阶实对称阵，B 为 n 阶实矩阵，且 A 与 \(A-B^TAB\) 均为正定矩阵。λ 是 B 的一个实特征值，证明 |λ|＜1。
解答：
- 反证法：已知 B 有至少一个实特征值 λ，假设 |λ| ≥ 1，x 为对应的特征向量，即 Ax = λx。
- \(x^T[A-B^TAB]x=x^TAx-(Bx)^TA(Bx)=x^TAx(1-\lambda^2)\)，
- 如果 |λ| ≥ 1，因为 A 正定，所以 \(x^TAx\)＞0，上式 ≤ 0。
- 然而，\(A-B^TAB\) 正定，所以上式应该＞0，矛盾。
- 所以，B 的所有实特征值 λ，都应该 |λ|＜1。
3 二次型（实对称矩阵）的标准型，即为相似的对角阵
题意：
- 已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx\) 在正交变换 \(x = Qy\) 下的标准型为 \(y_1^2+y_2^2\)，且 Q 的第三列为 \(q_3=(\frac{\sqrt{2}}2,0,\frac{\sqrt{2}}2)^T\)。
- 求矩阵 A；
- 证明 A+E 正定。
解答：
- 第一问：
- 已知：A 是实对称矩阵，相似于对角阵 diag(1, 1, 0)，特征值 0 的特征向量是 \((\frac{\sqrt{2}}2,0,\frac{\sqrt{2}}2)^T\)。
- 求 A 的剩下两个特征向量：
- 属于特征值 1 的特征向量有 q1 q2 两个，和 q3 一起构成 Q 正交阵，q1 q2 q3 线性无关。
- 因为任一和 q3 线性无关的向量，一定可以被 q1 q2 线性表示，所以随便取与 q3 线性无关的 q1 q2 为 \((0, 1, 0)^T\) 和 \((\frac{\sqrt{2}}2,0,-\frac{\sqrt{2}}2)^T\)。
- 从特征向量推出 A：
- 设 \(A=\left(\begin{array} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)\) ，
- \((0, 1, 0)^T\) 是 λ=1 特征向量：可知 A 第二列是 \((0, 1, 0)^T\)。
- \((\frac{\sqrt{2}}2,0,-\frac{\sqrt{2}}2)^T\) 是 λ=1 特征向量：可知 $\left{\begin{array} & a_{11}-a_{13}=1 \ a_{21}-a_{23}=0 \ a_{31}-a_{33}=-1 \end{array}\right. $ 。
- \((\frac{\sqrt{2}}2,0,\frac{\sqrt{2}}2)^T\) 是 λ=0 特征向量：可知 A 第 1 3 列为相反数。
- 直接可知 \(A=\left(\begin{array} & \frac12 & 0 & -\frac12 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac12 & 0 & \frac12\end{array}\right)\) 。
- 第二问：直接算。
- \(A+E=\left(\begin{array} & \frac32 & 0 & -\frac12 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\frac12 & 0 & \frac32\end{array}\right)\)，特征多项式为 \((\frac32-λ)²(2-λ) - \frac14(2-λ)=-(\lambda-1)(\lambda-2)^2\)，
- 特征值为 1 2，实对称矩阵 特征值全正，则正定。
标签：特征值,题目,特征向量,二次,矩阵,sqrt,线性代数,frac,array 来源： https://www.cnblogs.com/moonout/p/16613067.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。