矩阵相关基本概念

2022-07-24 12:33:39 阅读：150 来源： 互联网

1、复共轭转置矩阵

矩阵 $A$ 的复共轭转置记作 $A^H$ ，定义为

$A^{H} = [\begin{matrix} a_{11}^{*} & a_{21}^{*} & \dots & a_{m 1}^{*} \\ a_{12}^{*} & a_{22}^{*} & \dots & a_{m 2}^{*} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 n}^{*} & a_{2 n}^{*} & \dots & a_{m n}^{*} \end{matrix}]$

共轭转置又叫 Hermitian伴随，Hermitian转置或Hermitian共轭。满足 $A^H=A$ 的正方复矩阵称为Hermitian矩阵或共轭对称矩阵。

2、矩阵的内积

矩阵 $A$ 和 $B$ 的内积记作 $\left \langle A,B \right \rangle$ ，定义为
$⟨ A, B ⟩ = A^{H} B$

3、矩阵的特殊运算

矩阵的指数定义为
$\exp (A) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^{k}$
矩阵的对数定义为
$\log (I_{n} - A) = - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^{k}$
如果矩阵$A$的元素$a_{ij}$都是参数$t$的函数，则矩阵的导数定义为
$\frac{d A}{d t} = \dot{A} = [\begin{matrix} \frac{d a_{11}}{d t} & \frac{d a_{12}}{d t} & \dots & \frac{d a_{1 n}}{d t} \\ \frac{d a_{21}}{d t} & \frac{d a_{22}}{d t} & \dots & \frac{d a_{2 n}}{d t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{d a_{m 1}}{d t} & \frac{d a_{m 2}}{d t} & \dots & \frac{d a_{m n}}{d t} \end{matrix}]$
矩阵的积分定义为
$\int A d t = [\begin{matrix} \int a_{11} d t & \int a_{12} d t & \dots & \int a_{1 n} d t \\ \int a_{21} d t & \int a_{22} d t & \dots & \int a_{2 n} d t \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \int a_{m 1} d t & \int a_{m 2} d t & \dots & \int a_{m n} d t \end{matrix}]$

4、矩阵的二次型

任意一个正方矩阵 $A$ 的二次型 $x^HAx$ 为一实标量。在讨论矩阵$A$的二次型时，通常假定 $A$ 为实对称矩阵或者复共轭对称矩阵（即Hermitian矩阵）。

一个共轭对称矩阵$A$称为

正定矩阵，若二次型 $x^HAx > 0$ ，$\forall x \ne0$
半正定矩阵，若二次型 $x^HAx \ge 0$ ，$\forall x \ne0$ (也称非负定)
负定矩阵，若二次型 $x^HAx < 0$ ，$\forall x \ne0$
半负定矩阵，若二次型 $x^HAx \le 0$ ，$\forall x \ne0$ （也称非正定）
不定矩阵，二次型 $x^HAx$ 既可能取正值又可能取负值

5、矩阵的迹

$n\times n$ 矩阵 $A$ 的对角元素之和称为 $A$ 的迹，记作 $tr(A)$，即
$t r (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$

$\bigstar$ 关于迹的等式

$①$ $tr(A\pm B)= tr(A)\pm tr(B)$

$②$ $tr(cA) = c\ tr(A)$

$③$ $tr(c_1A \pm c_2B ) = c_1\ tr(A) \pm c_2\ tr(B)$

$④$ 矩阵 $A$ 的转置、复数共轭和复共轭转置的迹分别为
$t r (A^{T}) = t r (A)$ $t r (A^{*}) = t r (A^{H}) = {[t r (A)]}^{*}$

$⑤$ 若矩阵 $A$ 和 $B$ 均为 $m\times m$ 矩阵，且 $B$ 非奇异，则
$t r (B A B^{- 1}) = t r (B^{- 1} A B) = t r (A)$

$⑥$ $tr(A^HA)=0\Leftrightarrow A=O_{m\times n}$

$⑦$ $x^HAx=tr(Axx^H)$ 和 $y^Hx=tr(xy^H)$

$⑧$ 分块矩阵的迹满足
$t r [\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}] = t r (A) + t r (D)$

$⑨$ 迹等于特征值之和，即
$t r (A) = λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n}$

$⑩$ 对任何正整数 $k$，有
$t r (A^{k}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{k}$

标签：转置,tr,矩阵,HAx,Hermitian,相关,共轭,基本概念
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