标签：begin right end matrix 元解 线性方程组 int 高斯消 left
初等行变换
矩阵的初等行变换是实现高斯消元的方法
初等行变换有三种
- 某一行所有数乘\(k(k ≠ 0)\)
- 交换某两行
- 将某一行加上另一行的若干倍
高斯消元
高斯消元有四种操作
- 找到绝对值最大的一行（为了代码的稳定性）
- 将该行移到最上面
- 将该行第一个数变为1
- 将最上面一行下面所有行的第\(c\)列变成0
以上四种操作均可通过初等行变换实现
判断解
取决于矩阵的形状
1. 完美阶梯形 —— 唯一解
每一个未知数对应一个常数，因此只有一个解
2. \(0 = k(k\neq 0)\) —— 无解
矩阵中有一个方程未知数的系数为0，而右侧的常数非0，则\(0 \neq 0\)，无解
3. \(0=0\) —— 无数解
矩阵中有一个方程左右两侧都是0，则未知数可以取任意值，有无数解
想法
将原方程组化成矩阵，例如
\[\left\\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} -x_{3} = -6\\\ 2x_{1} + x_{2} -3x_{3} = -9\\\ -x_{1} -x_{2} + 2x_{3} = 7 \\\ \end{matrix} \right. \]可以转化为
\[\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & -6\\\ 2 & 1 & -3 & -9\\\ -1 & -1 & 2 & 7 \\\ \end{matrix} \right) \]然后运用高斯消元进行变形，模拟：
第一次迭代
1. 找到绝对值最大的一行
2. 将该行移到最上面
3. 将该行第一个数变为1
此处是将第一行所有数乘\(\frac12\)
初等行变换\(1.\)
4.将第一行下面所有行的第\(c\)列变成0
此GIF中第一次操作 将第二行减去第一行的一倍
初等行变换\(3.\)
第二次操作 将第三行加上第一行的一倍
初等行变换\(3.\)
第二次迭代
注意：做完第一次迭代时，第一行就固定了，因此只需要从下面开始即可
此处第三列y总笔误，应是\(\frac13\)而不是\(\frac12\)
1. 找到绝对值最大的一行
2. 将第二行行移到最上面此时第二行本身就符合1.2.的要求，因此不用动
3. 将第二行第一个数变为1
即 将第二行乘以\(\frac23\)
初等行变换\(1.\)
4.将第一行下面所有行的第\(c\)列变成0
此处将第三行加上\(\frac12\)倍的第二行
初等行变换\(3.\)
3. 将第三行第一个数变为1
即 将第三行乘以\(\frac32\)
解方程
我们发现这是一个完美的阶梯形矩阵，因此该方程组有唯一解
矩阵
化成方程组的形式：
\[\left\{ \begin{aligned} x_{1} + \frac12 x_{2} -\frac32 x_{3} &= -\frac92 \\\ x_{2} + \frac13 x_{3} &= -1\\\ x_{3} & = 3 \\\ \end{aligned} \right. \]我们发现\(x_3\)在消元的过程中已经解出来了，要解②就只需要将\(③\times \frac13\)得
\(\frac13 = 1④\)
然后用\(②-④\)，得：
即
\[\left( \begin{matrix} 1 & \frac12 & -\frac32 & -\frac92\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\ \end{matrix} \right) \]对①进行同样的操作，解得
\[\left\{ \begin{aligned} x_{1} -\frac32 x_{3} &= -\frac{7}{2} \\\ x_{2} &= -2\\\ x_{3} & = 3 \\\ \end{aligned} \right. \]\[\left( \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac32 & -\frac{7}{2}\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\ \end{matrix} \right) \]再消去\(x_3\)：
\[\left\{ \begin{aligned} x_{1} &= 1 \\\ x_{2} &= -2\\\ x_{3} & = 3 \\\ \end{aligned} \right. \]也就是
\[\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\ \end{matrix} \right) \]码来！
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath> // fabs() = float abs = 浮点数的绝对值，相对应的，整数的绝对值即为abs()
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-8; // 防止出现精度问题
double a[N][N];
int n;
int gauss()
{
int c = 0, r = 0;
for(; c < n; c++)
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ ) // 第一步，找绝对值最大的行
{
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
}
if(fabs(a[t][c]) < eps) continue; // 代表这一列已经被处理过了
for(int i = c; i <= n; i++) // 第二步
swap(a[t][i], a[r][i]); // 将这一行调到最上面
for(int i = n; i >= c; i--) // 第三步
a[r][i] /= a[r][c]; // 要倒着算，否则会影响后面的数
for(int i = r + 1; i < n; i++) // 第四步
{
if(fabs(a[i][c]) > eps) // 如果是0就不用操作了
{
for(int j = n; j >= c; j--)
{
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
}
r++;
}
if(r < n) // 方程数 < n
{
for(int i = r; i < n; i++)
{
if(fabs(a[i][n]) > eps) // 0 != 0
{
return 2; // 无解
}
}
return 1; // 无数解, 0=0
}
for(int i = n - 1; i >= 0; i --) // 有解从下往上回代
{
for(int j = i + 1; j < n; j++)
{
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
scanf("%lf", &a[i][j]);
int t = gauss();
if(t == 0) // 有唯一解
{
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
if(fabs(a[i][n]) < eps) a[i][n] = 0.00; // 避免输出-0.00
printf("%.2lf\n", a[i][n]);
}
}
else if(t == 1) puts("Infinite group solutions"); // 无数解
else puts("No solution"); // 无解
}
标签：begin,right,end,matrix,元解,线性方程组,int,高斯消,left 来源： https://www.cnblogs.com/MoyouSayuki/p/16513725.html
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