标签：13 log 题解 LGP8442 times 出题 单次 mod

赛前和出题人击过剑，交换了JROI R4和LMOI R1的E和F，并且保证互相不打对方的比赛（

这个做法得到了出题人的许可（

其实六道题都看过并且口胡过一遍，但是对面没看过JROI的前四道题

这个模数可以变成两个数的乘积，即 \(2.4\times 10^7+1\) 和 \(3\times 10^7+1\)。

不难发现 \(n\) 的范围中除了 \(13\) 都是这两个数减去 \(1\) 的因数。

而题目要求的是 \((x+x^{n-1})^m\pmod{x^n-1}\)，循环卷积的长度是 p-1 的因数当然非常快乐。

于是我们收获了一个单次 \(O(n\log n)\) 的做法。

\(m\) 显然是可以对 mod-1 取模的。

然后考虑把传球的那颗（树）画出来，不难发现到达这棵树最底部的方案数是组合数，而你只需要求 \(O(\frac{m}{n})\) 个位置的组合数。

于是又收获了一个 \(O(\frac{mod}{n})\) 的做法。

根号分治一下，能够得到单次 \(O(\sqrt{mod\log mod)\) 的做法。这个大概是 1e5 不到的量级。虽然有 2500 次询问但是一定能跑。

出题人原本认为 \(n=13\) 是最难的部分。

于是我贺了一个 Berlekamp–Massey，很快啊，递推式直接扒出来了。

\[f_n=f_{n-1}+7\times f_{n-2}-6\times f_{n-3}-14\times f_{n-4}+9\times f_{n-5}+7\times f_{n-6}-2\times f_{n-7} \]

然后跑一个常系数齐次线性递推直接单次 \(O(7^2\sum\log m)\) 随便乱草。

如果觉得不够过瘾可以写成矩阵乘法，然后用特征多项式优化矩快来一个 \(O(13^4+13^2\sum\log m)\) 狂暴轰入。

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