深入剖析多重背包问题（上篇）
前言
在前面的两篇文章当中，我们已经仔细的讨论了01背包问题和完全背包问题，在本篇文章当中将给大家介绍另外一种背包问题——多重背包问题，多重背包问题的物品数量介于01背包问题和完全背包问题之间，他的物品的数量是有限个！
多重背包问题介绍
有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
注意：上面使用到的字符含义在本篇文章当中都一样。
多重背包问题跟01背包和完全背包的区别都是在物品的可用次数上，01背包只能使用一次，多重背包可用使用无数次，而多重背包可用使用多次。
背包问题复习——01背包的动态转移方程
01背包的动态转移方程
01背包问题当中，我们是使用一个二维数组dp[i][j]进行计算，dp[i][j]表示在只使用前i个物品且背包容量为j的情况下，我们能够获得的最大的收益。在这个情况下，我们根据当前背包容量j判断是否能装入第i个物品可以得到下面两个方程：
上面01背包的公式的第二条比较简单，如果背包容量不足以容纳第i件物品，那么只能从前i - 1物品当中选择了。我们来仔细分析一下第一条公式。
如果当前背包容量可以容纳第i个物品，那么我们就可以选择第i件物品或者不选择，我们应该选择两种选择当中收益更大的那个。
- 如果我们不选择第
i个物品，那么我们就能够使用容量为j的背包去选择前i - 1个物品，这种情况下我们的最大收益为dp[i - 1][j]。 - 如果选择第
i个物品，那么我们背包容量还剩下j - v[i]，还可以选择剩下的i - 1个物品，而且我们的收益需要加上w[i]，因此我们的收益为max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])。
将多重背包转化成01背包
在多重背包的问题当中，我们对于一种物品我们可以使用多次，比说\(A\)物品我们可以用三次。事实上我们可以将多重背包转化成01背包，比如我们可以将三个\(A\)物品变成三个不同的物品，所谓不同就是他们的名字不一样，但是他们的价值和体积都是一样的，假设\(A\)的体积为\(V_a\)，价值为\(W_a\)，能够使用的次数为3次，那么我们可以将其转化成\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，这三个物品的体积和价值均为\(V_a\)和\(W_a\)，这样的话\(A\)可以使用3次就转化成了\(A_1\)、\(A_2\)和\(A_3\)均只能使用一次。通过这种转换我们就将多重背包转化成了01背包。
多重背包Java代码：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt();
int V = scanner.nextInt();
ArrayList<Integer> v = new ArrayList<>();
ArrayList<Integer> w = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < N; i++) {
int vi = scanner.nextInt();
int wi = scanner.nextInt();
int t = scanner.nextInt();
for (int j = 0; j < t; j++) {
v.add(vi);
w.add(wi);
}
}
int[][] dp = new int[v.size() + 1][V+ 1];
// 对第0行进行初始化操作
for (int i = v.get(0); i <= V; ++i) {
dp[0][i] = w.get(0);
}
for (int i = 1; i < v.size(); ++i) {
for (int j = 0; j <= V; ++j) {
if (j >= v.get(i)) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],
dp[i - 1][j - v.get(i)] + w.get(i));
}
else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
System.out.println(dp[v.size() - 1][V]);
}
}
和01背包一样，我们对多重背包也可以使用单行数组进行优化：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt();
int V = scanner.nextInt();
ArrayList<Integer> v = new ArrayList<>();
ArrayList<Integer> w = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < N; i++) {
int vi = scanner.nextInt();
int wi = scanner.nextInt();
int t = scanner.nextInt();
for (int j = 0; j < t; j++) {
v.add(vi);
w.add(wi);
}
}
int[] f = new int[V + 1];
for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
for (int j = V; j >= v.get(i); j--) {
f[j] = Math.max(f[j], f[j - v.get(i)] + w.get(i));
}
}
System.out.println(f[V]);
}
}
多重背包动态转移方程
在背包容量足够的情况下，01背包的动态转移方程为：
\[dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]), j \ge v[i] \]上述的动态转移方程是基于每个物品选和不选，那么对于多重背包来说，如果物品可以选择\(S\)次，我们可以选择0次，可以选择1次，......，可以选择\(S\)次，我们就需要从这些情况当中选择收益最大的那次（前提是背包能够容纳下相应次数的物品），因此多重背包的动态转移方程如下（ \(T = min(S, \frac{V}{v_i})\)，其中\(S\)表示物品能够选择的次数，\(v_i\)表示物品的体积，\(V\)表示当前背包的容量）：
\[dp[i][j] = max\\ \{ \\ dp[i - 1][j], \\ dp[i - 1][j - v[i]] + w[i],\\ dp[i - 1][j - v[i] * 2] + w[i] * 2, \\ ..., \\ dp[i - 1][j - v[i] * T] + w[i] * T\\ \} \]基于上面的动态转移方程我们可以得到下面的代码：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt();
int V = scanner.nextInt();
int[] w = new int[N];
int[] v = new int[N];
int[] t = new int[N];
int[] f = new int[V + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
t[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = V; j >= v[i]; --j) {
// 这个循环就表示多重背包的动态转移公式了
// 在这段代码当中虽然 Math.max的参数只有量
// 但是有一段循环，将这个循环展开，他表示的
// 就是多重背包的动态转移方程
for (int k = 1; k <= t[i] && j >= v[i] * k; k++) {
f[j] = Math.max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k);
}
}
}
System.out.println(f[V]);
}
}
总结
在本篇文章当中主要跟大家介绍了多重背包的两种解决办法，一种是将多重背包转化成01背包，另外一种方法是根据多重背包的动态转移方程去解决问题，可以看出后者的空间复杂度更低，更节约内存空间。下期我们用另外一种方法去优化多重背包。
以上就是本篇文章的所有内容了，希望大家有所收获，我是LeHung，我们下期再见！！！
更多精彩内容合集可访问项目：https://github.com/Chang-LeHung/CSCore
关注公众号：一无是处的研究僧，了解更多计算机（Java、Python、计算机系统基础、算法与数据结构）知识。
标签：多重,背包,scanner,int,剖析,物品,dp 来源： https://www.cnblogs.com/Chang-LeHung/p/16483234.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。