$\text{Sol. Luogu P1642}$ 规划

2022-07-12 08:34:42 阅读：138 来源： 互联网

标签：int text sum db Sol mid Link P1642 ans

$\text{Sol. Luogu P1642}$ 规划

题意：给一颗 $n$ 个节点的树，每个节点都有权值 $a_i,b_i$，要求在树上选出 $n-m$ 个连通的节点，最大化 $x=\dfrac{\sum a_i}{\sum b_i}$

$\rm Sol.$
题目所给的式子中含有 $\dfrac{\sum a_i}{\sum b_i}$ 这一项，我们无法确定到底是选 $a_i$ 更大的还是 $b_i$ 更大的，这时
我们就必须要将 $a_i,b_i$ 这两项化为一个整体求解。

$\begin{aligned}x=\dfrac{\sum a_i}{\sum b_i}\\\to \sum a_i=x\cdot \sum b_i \\\to\sum a_i-x\cdot\sum b_i =0\\\to \sum(a_i-xb_i)=0\end{aligned}$

我们发现这样就可以将 $a_i,b_i$ 两个参数化为一个处理。这题的 $x$ 显然是有单调性的，我们二分 $x$ 的值，将其带入上式，在树上跑树形 $dp$ （背包）求其最大值，若最大值 $\ge 0$ 说明当前 $x$ 满足题意， $ans = L = mid$，反之则 $R = mid$。

树形背包部分基本等于板子。

$\rm Code:$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, M = 1e5 + 5;

#define db double 

db f[N][N], val[M], sum;
vector <int> Link[N];
db val1[M], val2[M];

int n, m;

void dp(int u, int Fa) {
    for(auto v : Link[u]) {
        if(v == Fa) continue;
        dp(v, u);
        for(int k = m; k; k--) 
            for(int j = k; j >= 0; j--) 
                f[u][k] = max(f[u][k], f[u][k - j] + f[v][j]); // 树形背包
    }
    for(int i = m; i >= 1; i--) f[u][i] = f[u][i - 1] + val[u]; // 为保证连通性强制取当前点
    sum = max(sum, f[u][m]); // 一边更新一遍取最大值
}

inline bool check(db x) {
    for(int i = 1; i <= n; i++) val[i] = val1[i] - x * val2[i]; // 统一计算权值
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            f[i][j] = -1e9; // 注意 f[i][0] = 0，不能全部 memset 为 -inf
    sum = -1.0;

    dp(1, 0);
    return sum >= 0;
}

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("Ans.txt", "w", stdout);
#endif
    cin >> n >> m; m = n - m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> val1[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> val2[i];
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        static int x, y; cin >> x >> y;
        Link[x].push_back(y);
        Link[y].push_back(x);
    }

    db L = 0.0, R = 1e6, ans;
    while(L + 1e-5 < R) { // 二分答案
        db mid = (L + R) / 2;
        if(check(mid)) { ans = L = mid; }
        else R = mid;
    }
    printf("%.1lf", ans);
    return 0;
}

标签：int,text,sum,db,Sol,mid,Link,P1642,ans
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