标签：概率 frac sum LGP7445 pushdown 考虑 节点

根据期望的线性性，考虑某个节点会做 pushdown 的概率为 \(P_u\)，答案显然就是 \(\sum P_u\)。

考虑一个节点不会被做 pushdown 的概率为 \(p_u=1-P_u\)，设这个节点所代表的区间为 \([l,r]\)，那么这个节点不会被做 pushdown 当且仅当所有包含这个区间的修改中，加起来的权值和为 \(0\)。

考虑设一次修改会修改到这个区间的概率是 \(c=\frac{l(n-r+1)}{n(n-1)\div 2}\)，设 \(f[i]\) 表示 \(i\) 个 \([-1,V]\) 的数加起来为 \(0\) 的概率，那么对于这个节点答案就是：

\[1-\sum_{i=0}^{m}c^{i}(1-c)^{m-i}f[i]=1-(1-c)^{m}\sum_{i=0}^{m}f[i](\frac{c}{1-c})^i \]

求出 \(f[i]\) 后多点求值即可。考虑求解 \(f[i]\)。

显然有 \(f[n]=[x^0](\sum_{i=-1}^{V}x^i)^n(V+2)^{-n}\)。

显然后面这玩意儿 \(V+1\) 是可以对 \(m-1\) 取 \(\min\) 的（考虑 \(m-1\) 个 \(-1\) 只能拼凑 \(m-1\)）。设 \(k=\min(V+2,m)\)，问题变为求出：

\[f[n]=[x^0](\frac{1-x^{k}}{1-x}\div x)^n \]

\[f[n]=[x^0](\frac{x(1-x)}{1-x^k})^{-n} \]

此时使用拉格朗日反演可以得到：

\[[x^0](\frac{x(1-x)}{1-x^k})^{-n}=[x^{n-1}]G'(x)G^{-1}(x) \]

其中有 \(G(\frac{x-x^2}{1-x^k})=x\)。

因为 \(G(x)\) 和 \(\frac{x-x^2}{1-x^k}\) 互为复合逆，所以有：

\[\frac{G(x)-G^2(x)}{1-G^k(x)}-x=0 \]

牛顿迭代即可。

标签：概率,frac,sum,LGP7445,pushdown,考虑,节点
来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16460844.html

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