标签：begin end cdots 笔记 学习 vmatrix 行列式 vdots
上次介绍了行列式的基本性质，我们继续探索由性质得出的有用结论（以二阶行列式为基准）。
结论一
如果行列式两行相同，则行列式的值是 \(0\) 。
证明：
结论二
如果有一行是 \(0\) 则行列式值是 \(0\)
证明：
我们假设第一行是 \(0\) 。
结论三
如果一行是另一行的 \(k\) 倍，则答案为 \(0\) 。
证明：
我们假设第一行是第二行的 \(k\) 倍。
由结论一可知：
\[\begin{vmatrix} a & b\\ a & b\\ \end{vmatrix} = 0\\ \therefore \det(A) = k \begin{vmatrix} a & b\\ a & b\\ \end {vmatrix}=0 \]结论四
如果某一行是其他行的线性组合，行列式的值是 \(0\) 。
证明：
计算行列式
先来介绍一个很好的性质。
一个行列式的一行加（减）另一行的 \(k\) 倍，行列式的值不变。
用数学公式表达：
\[\begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g-ka&h-kb&i-kc\\ \end {vmatrix} \]证明一下：
\[\begin {split} \det (A) &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g-ka&h-kb&i-kc\\ \end {vmatrix}\\ &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} - \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ ka&kb&kc\\ \end {vmatrix}\\ &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} \\ \end {split} \]直接对行列式进行 \(Gauss-Jordan\) 消元。
之后矩阵变成这样的一个存在，也就是对角矩阵。
考虑对角矩阵的行列式求法。
\[\begin {split} \det(A) &= \begin {vmatrix} a_1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & a_2 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1 \times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & a_2 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &=a_1 a_2\times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & 1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1 a_2 a_3 \cdots a_{n-1}a_n\times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & 1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & 1\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}a_n\\ &= \prod_{i=1}^n a_i \end {split} \]进一步的，我们推广到上三角矩阵以及下三角矩阵
发现这样的情况：
\[\prod_{i=1}^n a_i \]我们定义对角线的值为 \(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n\) 。
那么，行列式的值都是
所以不需要 \(Gauss-Jordan\) 直接 \(Gauss\) 就可以啦！
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')
#define int long long
#define N 605
int n, mod, a[N][N], flag = 1;
signed main(void) {
// file("P7112");
std::cin >> n >> mod;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
scanf("%lld", &a[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
while (a[i][i]) {
int x = a[j][i] / a[i][i];
for (int k = i; k <= n; k++)
a[j][k] = (a[j][k] - x * a[i][k] % mod + mod) % mod;
std::swap(a[j], a[i]);
flag *= (-1);
}a
std::swap(a[i], a[j]);
flag *= -1;
}
}
int ans = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans = (ans * a[i][i]) % mod;
std::cout << (ans * flag + mod) % mod<< std::endl;
}
标签：begin,end,cdots,笔记,学习,vmatrix,行列式,vdots 来源： https://www.cnblogs.com/Oier-GGG/p/16105177.html
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