标签：ch frac gcd int sum P1891 疯狂 varphi LCM

P1891 疯狂 LCM

题意：

给定 \(n\)，求：

\[\sum_{i = 1}^n \operatorname{lcm}(i, n) \]

思路：

先把 \(lcm\) 换成 \(gcd\)：

\[\ n\sum_{i = 1}^n \frac{i}{gcd(i,n)} \]

加一个枚举因数的 \(\sum\)

\[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^n \frac{i}{d}[gcd(i,n)=d] \]

即

\[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^n \frac{i}{d}[gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1] \]

用 \(i=\frac id\) 替换原本的 \(i\)

\[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{\frac nd} i[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \]

由于 \(d,\frac{n}{d}\) 成对出现，可以用 \(d\) 替换 \(\frac{n}{d}\)

\[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{d} i[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \]

可以发现这个式子与 \(\varphi(d)\) 有一定联系，因为

\[\varphi(d)=\sum_{i = 1}^{d} [gcd(i,\frac{n}{d})=1] \]

多了一个 \(i\)

一个小定理：若 \(gcd(a,b)=1\) \((a<b)\) 则 \(gcd(b-a,b)=1\)

因此原式可以两对两对的统计，可以写成

\[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{d} \varphi(d)\frac d2 \]

这样就可以计算了

注意 \(d=1\) 的时候特判

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

const int N=1e6+5;

#define ll long long

int cnt;
int p[N],phi[N];
bool not_p[N];
ll f[N];

inline void get_phi(){
	phi[1]=1;
    not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i){
		if(!not_p[i]){
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<N;++j){
			not_p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<N;++i)
		for(int j=1;j*i<N;++j)
			f[i*j]+=(i==1?1:1ll*phi[i]*i/2);
}

inline ll solve(int x){
	return f[x]*x;
}

signed main(){
	int T=read();
	get_phi();
	while(T--)
		cout<<solve(read())<<endl;
}

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来源： https://www.cnblogs.com/into-qwq/p/16446120.html

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